(一)三角函数与解三角形
1．已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋3sin x)． (1)求f(x)的最小正周期；
π
0，?内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围． (2)若关于x的方程f(x)＝t在区间??2?解 (1)f(x)＝sin xcos x＋3sin2x 13
＝sin 2x＋(1－cos 2x) 22133＝sin 2x－cos 2x＋ 222π3
2x－?＋. ＝sin?3?2?
2π所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
2π0，?， (2)因为x∈??2?π2ππ
－，?. 所以2x－∈?3?33?π
令u＝2x－，
3
ππ
－，?上是增函数， 因为y＝sin u在??32?π2π?在??2，3?上是减函数， ππ5π令u＝2x－＝，则x＝，
32125π
0，?上是增函数， 所以f(x)在??12?5ππ?在??12，2?上是减函数．
π
0，?内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y由题意知，关于x的方程f(x)＝t在区间??2?π
0，?内有两个不同的交点， ＝t的图象在区间??2?5π?3?π?
又因为f(0)＝0，f?＝1＋，f?2?＝3， ?12?2所以3≤t<1＋
3
， 2
即t的取值范围是?3，1＋
?
3?. 2?10
，b＝2，c＝5. 10
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝－(1)求a；
(2)求cos(B－A)的值．
解 (1)在△ABC中，由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A ＝2＋5－2×2×5×?－
?
10?＝9， 10?∴a＝3(舍负)．
(2)在△ABC中，由cos A＝－∴sin A＝1－cos2A＝
π?10
，得A∈??2，π?， 10
1－?－
?
10?2310＝. 1010?
在△ABC中，由正弦定理得即
ab
＝， sin Asin B
325＝，∴sin B＝，
5310sin B
10
π?π，π，故B∈?0，?， 又A∈??2??2?∴cos B＝1－sin2B＝
1－?
5?225
＝.
5?5?∴cos(B－A)＝cos Bcos A＋sin Bsin A ＝
25?5310210?×－＋×＝. 51010?10?5
3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A－3sin A·sin B. (1)求角C；
π
(2)若A＝，△ABC的面积为43，M为AB的中点，求CM的长．
6解 (1)由cos2B－cos2C＝sin2A－3sin Asin B， 得sin2C－sin2B＝sin2A－3sin Asin B. 由正弦定理，得c2－b2＝a2－3ab， 即a2＋b2－c2＝3ab.
a2＋b2－c23ab3
又由余弦定理，得cos C＝＝＝.
2ab2ab2
π
因为0 6π (2)因为A＝C＝， 6 2π 所以△ABC为等腰三角形，且顶角B＝. 3 13故S△ABC＝a2sin B＝a2＝43，所以a＝4(舍负)． 24在△MBC中，由余弦定理，得 CM2＝MB2＋BC2－2MB·BCcos B 1 ＝4＋16＋2×2×4×＝28， 2解得CM＝27. ?x－π?，cos?x－π??，函数f(x)4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a＝(2cos x,2sin x)，b＝?sin??6??6?? ＝cos〈a，b〉． (1)求函数f(x)的零点； (2)若锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(A)＝1，求围． π?x－π?＝2sin?2x－π?， x－?＋2sin x·解 (1)由条件可知，a·b＝2cos x·sin?cos6??6??6??π 2x－?2sin?6??a·b ∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝ |a||b|2π 2x－?. ＝sin?6?? πkππ 由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 6212kππ 即函数f(x)的零点为x＝＋，k∈Z. 212b＋csin B＋sin C (2)由正弦定理得＝， asin Aπ2x－?， 由(1)知，f(x)＝sin?6??π 2A－?＝1， 又f(A)＝1，得sin?6??ππ ∴2A－＝2kπ＋，k∈Z， 62π 又A∈(0，π)，得A＝， 3 b＋c 的取值范a 2π ∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化简得， 3b＋c ＝a 2π －B?sin B＋sin?3?? sin A 33 sin B＋cos B22＝ sin AπB＋?3sin??6? ＝ sin AπB＋?. ＝2sin??6?π 又在锐角△ABC中，有0 22ππ0 32 ππππ2π∴ B＋?≤1， b＋c 即3<≤2. a 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝3sin C. (1)若cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B，求sin A＋sin B的值； (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． 解 (1)∵cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B， ∴1－sin2A ＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， ∴sin2A ＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， ∴由正弦定理，得a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c21∴由余弦定理，得cos C＝＝－， 2ab2又0 ∴C＝， 3 ∴sin A＋sin B＝3sin C＝3sin (2)当c＝2，a＋b＝3c＝23， a2＋b2－c2?a＋b?2－2ab－c24 ∴cos C＝＝＝－1， 2ab2abab 2π3 ＝. 32 ∴sin C＝1－cos2C＝ ＝ 4?28－??ab?＋ab， 4?2 1－??ab－1? 11 ∴S＝absin C＝ab22＝ 1 －16＋8ab. 2 4?28－??ab?＋ab ∵a＋b＝23≥2ab， 即0 ∴S＝－16＋8ab≤－16＋8×3＝2， 22∴△ABC面积的最大值为2.
2020届二轮(理科数学) 三角函数与解三角形专题卷 (全国通用)
