(一)三角函数与解三角形
1.已知函数f(x)=sin x·(cos x+3sin x). (1)求f(x)的最小正周期;
π
0,?内有两个不相等的实数解,求实数t的取值范围. (2)若关于x的方程f(x)=t在区间??2?解 (1)f(x)=sin xcos x+3sin2x 13
=sin 2x+(1-cos 2x) 22133=sin 2x-cos 2x+ 222π3
2x-?+. =sin?3?2?
2π所以f(x)的最小正周期T==π.
2π0,?, (2)因为x∈??2?π2ππ
-,?. 所以2x-∈?3?33?π
令u=2x-,
3
ππ
-,?上是增函数, 因为y=sin u在??32?π2π?在??2,3?上是减函数, ππ5π令u=2x-=,则x=,
32125π
0,?上是增函数, 所以f(x)在??12?5ππ?在??12,2?上是减函数.
π
0,?内有两个不相等的实数解,等价于y=f(x)与y由题意知,关于x的方程f(x)=t在区间??2?π
0,?内有两个不同的交点, =t的图象在区间??2?5π?3?π?
又因为f(0)=0,f?=1+,f?2?=3, ?12?2所以3≤t<1+
3
, 2
即t的取值范围是?3,1+
?
3?. 2?10
,b=2,c=5. 10
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=-(1)求a;
(2)求cos(B-A)的值.
解 (1)在△ABC中,由余弦定理得, a2=b2+c2-2bccos A =2+5-2×2×5×?-
?
10?=9, 10?∴a=3(舍负).
(2)在△ABC中,由cos A=-∴sin A=1-cos2A=
π?10
,得A∈??2,π?, 10
1-?-
?
10?2310=. 1010?
在△ABC中,由正弦定理得即
ab
=, sin Asin B
325=,∴sin B=,
5310sin B
10
π?π,π,故B∈?0,?, 又A∈??2??2?∴cos B=1-sin2B=
1-?
5?225
=.
5?5?∴cos(B-A)=cos Bcos A+sin Bsin A =
25?5310210?×-+×=. 51010?10?5
3.(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B-cos2C=sin2A-3sin A·sin B. (1)求角C;
π
(2)若A=,△ABC的面积为43,M为AB的中点,求CM的长.
6解 (1)由cos2B-cos2C=sin2A-3sin Asin B, 得sin2C-sin2B=sin2A-3sin Asin B. 由正弦定理,得c2-b2=a2-3ab, 即a2+b2-c2=3ab.
a2+b2-c23ab3
又由余弦定理,得cos C===.
2ab2ab2
π
因为0 6π (2)因为A=C=, 6 2π 所以△ABC为等腰三角形,且顶角B=. 3 13故S△ABC=a2sin B=a2=43,所以a=4(舍负). 24在△MBC中,由余弦定理,得 CM2=MB2+BC2-2MB·BCcos B 1 =4+16+2×2×4×=28, 2解得CM=27. ?x-π?,cos?x-π??,函数f(x)4.(2018·重庆市綦江区调研)已知a=(2cos x,2sin x),b=?sin??6??6?? =cos〈a,b〉. (1)求函数f(x)的零点; (2)若锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(A)=1,求围. π?x-π?=2sin?2x-π?, x-?+2sin x·解 (1)由条件可知,a·b=2cos x·sin?cos6??6??6??π 2x-?2sin?6??a·b ∴f(x)=cos〈a,b〉== |a||b|2π 2x-?. =sin?6?? πkππ 由2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z, 6212kππ 即函数f(x)的零点为x=+,k∈Z. 212b+csin B+sin C (2)由正弦定理得=, asin Aπ2x-?, 由(1)知,f(x)=sin?6??π 2A-?=1, 又f(A)=1,得sin?6??ππ ∴2A-=2kπ+,k∈Z, 62π 又A∈(0,π),得A=, 3 b+c 的取值范a 2π ∵A+B+C=π,∴C=-B,代入上式化简得, 3b+c =a 2π -B?sin B+sin?3?? sin A 33 sin B+cos B22= sin AπB+?3sin??6? = sin AπB+?. =2sin??6?π 又在锐角△ABC中,有0 22ππ0 32 ππππ2π∴ B+?≤1, b+c 即3<≤2. a 5.(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=3sin C. (1)若cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求sin A+sin B的值; (2)若c=2,求△ABC面积的最大值. 解 (1)∵cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B, ∴1-sin2A =sin2B+1-sin2C+sin Asin B, ∴sin2A +sin2B-sin2C=-sin Asin B, ∴由正弦定理,得a2+b2-c2=-ab, a2+b2-c21∴由余弦定理,得cos C==-, 2ab2又0 ∴C=, 3 ∴sin A+sin B=3sin C=3sin (2)当c=2,a+b=3c=23, a2+b2-c2?a+b?2-2ab-c24 ∴cos C===-1, 2ab2abab 2π3 =. 32 ∴sin C=1-cos2C= = 4?28-??ab?+ab, 4?2 1-??ab-1? 11 ∴S=absin C=ab22= 1 -16+8ab. 2 4?28-??ab?+ab ∵a+b=23≥2ab, 即0 ∴S=-16+8ab≤-16+8×3=2, 22∴△ABC面积的最大值为2.
2020届二轮(理科数学) 三角函数与解三角形专题卷 (全国通用)
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