课题 两条直线的位置关系 1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目标 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式 教学重点 教学难点 教学方法 教具准备 教学过程 两条直线平行与垂直的判定 点到直线的距离公式 讲练结合 教材 【基础练习】 1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0 13.若三条直线2x?3y?8?0,x?y?1?0和x?ky?k??0相交于21一点，则k的值等于? 24.已知点P1(1，1)、P2(5，4)到直线l的距离都等于2．直线l的方程 为 3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0或x-3=0. 5.已知A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求?ABC的面积. 简解：答案为【范例导析】 28 3【例1】已知两条直线l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, l1与l2 （1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0时，l1：x＋６＝０，l2：x＝０，∴l1∥l2， 当ｍ＝2时，l1：x＋４y＋６＝０，l2：３y＋２＝０ ∴l1与l2相交； 1m2?当m≠０且m≠２时，由得m＝－１或m＝３，由m?23m16得m＝3 ?m?22m故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时l1与l2相交。 （２）m＝－１或m＝０时l1∥l2， （３）当m＝３时l1与l2重合。 点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在. 例2.已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。 分析：可以求出直线l与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率 解法一：:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别是A1（3，-4）和 B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k（x-3）+1， ?3k?24k?1?x?y?1?0解方程组?得A（） ,－y?kx?3?1k?1k?1?????3k?79k?1?x?y?6?0解方程组 ?得B（，－） y?kx?3?1k?1k?1????由|AB|=5得 ?3k?23k?7??4k?19k?1?????+???=25， k?1k?1k?1k?1????22解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。 综上可知，所求l的方程为x=3或y=1。 解法二.设直线l与l1、l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0， x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5
① 又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ② ?x?x?5?x1?x2?0联立① ②，可得?12或? y?y?0y?y?5?12?12由上可知，直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。 点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论. 【例3】设已知三条直线l1:mx?y?m?0,l2:x?my?m?m?1??0,l3:?m?1?x?y??m?1??0 它们围成?ABC,（1）求证：不论m为何值，?ABC有一个顶点为定点.（2）当m为何值时，?ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值. 分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面积的表达式,转化为求函数最值问题. 解：（1）证明：因为直线l1:mx?y?m?0恒过定点（-1，0），直线l3:?m?1?x?y??m?1??0也恒过定点（-1，0），所以直线l1与l2的交点为定点（-1，0），即?ABC有一个顶点为定点，不妨设为C（-1，0）. （2） 因为m??1??m?1?0,所以l1?l2，即AB⊥AC,又l3与l2的交点为B（0，m+1），由点到直线距离公式得B到直线1AC的距离dB?，点C到AB的距离2m?1m2?m?1.所以?ABC的面积dc?2m?1211m?m?111S==1?.当m＞0时，m??2，122mm2?1m?m3等号在m?1时成立，S有最大值.当m?0时，411m???2，等号在m??1时成立，S有最小值. m4点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题. 反馈练习： 1.已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线y?x，则l的方程是y??2x?2 2.若直线ax?(1?a)y?3与(a?1)x?(2a?3)y?5互相垂直，则 a?-3或12
1 3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___. 4.已知0???14?2，且点(1,cos?)到直线xsin??ycos??1的距离等于，则?等于? 65.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是垂直 6.已知点P1(x1,y1)、P2?x2,y2?，分别是直线l上和直线l外一点，若直线l的方程是f?x,y??0，则方程f?x,y??f?x1,y1??f?x2,y2??0表示的图形是过P2且与l平行的直线 7.点(2,3)关于直线x?y?1的对称点的坐标是 （-2， -1） 8. 经过直线2x?3y?7?0与7x?15y?1?0的交点，且平行于直线x?2y?3?0的直线方程是3x+6y-2=0 9.两条直线ax?2ay?1?0,和?a?1?x??a?1?y?1?0互相垂直，则?27?垂足的坐标为??，? ?1530?10.线l1过点A(5,0)，l2过点B(0,1)，l1∥l2，且l1与l2之间的距离等于5，求l1与l2的方程。 解：l1与l2的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0 11.条直线x?y?1?0,2x?y?8?0和ax?3y?5?0共有三个不同的交点，求a的范围。 解:a?3且a??6且a?1 312.已知?ABC的三边方程分别为AB:4x?3y?10?0，BC:y?2?0，CA:3x?4y?5?0. 求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程. 3解：（1）AB边上的高斜率为?且过点C，解方程组4?y?2?013得点C（，2）所以AB边上的高方程为?33x?4y?5?0?3x?4y?21?0. （2）设P?x,y?为∠BAC的内角平分线上任意一点，则
4x?3y?104???3?22?3x?4y?53???4?22解得7x?7y?5?0或x?y?15?0，由图形知7x?7y?5?0即为所求. 作业布置 教后反思：
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
