沪教版高一数学（下）6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教案(2)

正弦函数和余弦函数的图像与性质

【教学目标】

1．理解正弦函数、余弦函数的概念；

2．熟悉将单位圆上的正弦线转化为正弦函数y?sinx,x??0,2??的图像，并利用诱导公式

sin?x?2k???sinx,k?Z得到y?sinx,x?R图像的过程；余弦函数的情况类似；

3．会用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像，掌握这两个函数的图形特征；

4．理解函数y?cosx的图像可由y?sinx的图像经由平移后得到。

【教学重难点】

1．重点：

（1）正弦函数与余弦函数的图像；

（2）“五点法”绘制正弦函数与余弦函数在一个周期内的大致图像。 2．难点：余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的关系

【教学过程】

（一）复习引入 1．复习

（1）函数的概念。

在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作y?f?x?，

x?D。

（2）三角函数线

设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角?的终边（当?在第一、四象限角时）或其反向延长线（当?为第二、三象限角时）相交于T。

规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；

当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值； 当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值； 根据上面规定，则OM?x,MP?y， 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： yysin????y?MP； r1xxcos????x?OM； r1yMPATtan?????AT； xOMOA这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角?的正弦线、余弦线、正切线。 （二）讲授新课 问题驱动（1）结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由。 1．正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：y?sinx,x?R； （2）余弦函数：y?cosx,x?R 概念生成： 任意一个实数x都对应着唯一确定的角(在弧度制中其弧度数等于这个实数x)，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx(或余弦值cosx)。 这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx(或cosx)与它对应。 按照这个对应法则所建立的函数，表示为y?sinx (或y?cosx)，它叫做正弦函数(sine function)（或余弦函数(cosine function)） 问题驱（2）如何做出正弦函数y?sinx,x?R、余弦函数y?cosx,x?R的函数图像？ 2．正弦函数y?sinx,x?R的图像。

（1）y?sinx,x??0,2??的图像。 方案1、代数描点法

步骤1：列表——查三角函数表得三角函数值； 步骤2：描点——描点?x,sinx?；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点。

小结：由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，所以画出的图像误差大。 方案2——几何描点法

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点?x,sinx?； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点。

方案3——五点法

步骤1：列表——列出对图像形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

?3?????,1??????y?sinx,x?0,2??,00,0??小结：的五个关键点是、、、?,0?、?2?,0?。 ?2??2?（2）y?sinx,x?R的图像 由sin?2k??x??sinx,k?Z，所以函数y?sinx在区间?2k?,2k??2?? ?k?Z,k?0?上的图像与在区间?0,2??上的图像形状一样，只是位置不同。 于是我们只要将函数y?sinx,x??0,2??的图像向左、右平行移动（每次平行移动2?个单位长度），就可以得到正弦函数y?sinx,x?R的图像。 3．余弦函数y?cosx,x?R的图像 （1）y?cosx,x??0,2??的图像 方案1——几何描点法 步骤1：等分、作余弦线——将单位圆等分，作三角函数线（余弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——竖立、平移定点，即描点?x,cosx?； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 方案2——五点法 步骤1：列表——列出对图像形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点 ?3?????小结：y?cosx,x??0,2??的五个关键点是?0,1?、?,0?、??,?1?、?,0?、?2?,1?。 ?2??2?（2）y?cosx,x?R的图像 由cos?2k??x??cosx,k?Z，所以函数y?cosx在区间?2k?,2k??2?? ?k?Z,k?0?上的图像与在区间?0,2??上的图像形状一样，只是位置不同。 于是我们只要将函数y?cosx,x??0,2??的图像向左、右平行移动(每次平行移动2?个单位长度)，就可以得到正弦函数y?cosx,x?R的图像。 另法——图像平移法