问题26 利用基本不等式处理最值
一、考情分析
不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考． 二、经验分享
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．
类型二 未知定值
【例2】已知x,y为正实数,则A．
4x3y?的最小值为（ ）
x?3yx5103 B． C． D．3 332【答案】D 【解析】号,故选D.
【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．
【小试牛刀】【山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试】已知函数
在R上是单调递增函数,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A
,当且仅当
时取等
c的最小值是
2b?3a
技巧一：凑项
【例3】设a?b?0,则
的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】拼凑成和为定值的形式 【解析】
?4(当且仅当
?a?21??ab,即?和时取等号),故选D. 2ab?b?2?【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型. 技巧五：整体代换
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错． 【例7】已知x?0,y?0,且
19??1,求x?y的最小值． xy,故
．
【错解】Qx?0,y?0,且
19??1,?xy
【错因】解法中两次连用基本不等式,在
199等号成立条件是x?y,在??2等号成立条件xyxy是
19
?,即y?9x,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成xy
立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】
,
,当且仅当
y9x?时,xy19上式等号成立,又??1,可得
xy时,．
【小试牛刀】已知正实数a,b满足a?3b?7,则
的最小值为___________．
【答案】13?43 14
技巧六：取平方
【例8】已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝3x ＋2y 的最值． 【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系
．
【解法一】3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝25 ．
【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢．
【解法二】W＞0,W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20,∴W≤20 ＝25 ． 【小试牛刀】求函数
【解析】注意到2x?1与5?2x的和为定值．
,又y?0,
,
的最大值．
当且仅当2x?1=5?2x,即x?3时取等号,故ymax?22． 2【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件． 技巧七：构造
要求一个目标函数f(x,y)的最值,我们利用基本不等式构造一个以f(x,y)为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得f(x,y)的最值． 【例9】设x,y为实数,若
,则2x?y的最大值是 ．
【分析】利用基本不等式将已知定值式中4x2?y2,xy的均转化成含2x?y的不等式,再求2x?y的最大值． 【答案】【解析】
210． 5,可解得2x?y的最大值为
210． 5【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式． 【小试牛刀】若正实数x,y,满足
,则x?y的最大值为（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5 【分析】构成关于x?y的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由
,得
.即
,
.计算得出:
技巧八：添加参数
【例10】若已知a,b,c?0,则
.?x?y的最大值是4.所以C选项是正确的.
的最小值为 ．
【小试牛刀】设x,y,z,w是不全为零的实数,求
的最大值．
【解析】显然我们只需考虑以找到相应的正参数?,?满足：
的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可
故依据取等号的条件得,
,参数t就是我们要求的最大值．消去?,?我
们得到一个方程
,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到t?2?1． 2【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式
,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．
4．【湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研】已知则A．
的最小值为（ ） B．
C．8 D．
为抛物线
上两点，为坐标原点，且
，
【答案】C
5．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列项A．
，使得 B．
，则
C． D．
的最小值为（ ）
的前项和为，，若存在两
【答案】B 【解析】因为两式相减化简可得
，所以
，
.
高三数学备考冲刺140分问题26利用基本不等式处理最值含解析
