第10届UPhO试题
【比赛日期】2018年4月29日早8:30-5月1日晚24:00（5月1日晚21:00后进入考试则不统计在排名内）
【比赛时长】比赛时间长度为3小时。此后规定时间内必须完成答题、交卷。【考试说明】本次比赛邀请各重点中学物理竞赛选手参加，旨在加强校际交流，帮助同学进入考试状态，锻炼考试做新题的心态。
【考试范围和难度说明】UPhO考试覆盖竞赛大纲所有知识点，决赛难度，满分280分。 【答题规则】学员遵守诚信考试守则，允许使用非编程科学计算器，例如卡西欧991。 一、如图，在一根半径为r，足够长的圆柱上密绕导线，每一匝导线几乎是一个椭圆形，半长轴为r/cosθ，在x?z平面内，半短轴为r.在x?y平面内，在沿轴线方向，单位长度匝数为n，导线中通电流为I，足够长.
（1）计算轴线上一点沿轴线方向的磁场Bz； （2）计算柱形内一点的磁场(Bx,By,Bz)中的Bx； （3）接上，求其中的By；
（4）计算在柱形外一点(ρ,φ)，其中ρ>r，的磁场(Bρ,Bφ,Bz)中的Bρ； （5）接（4），求其中的Bφ； （6）接（4），求其中的Bz；
（7）有一个圆环，半径为a>r，中垂线为z轴，计算通过圆环的磁的磁通量?；
（8）上一问中的圆环以恒定的速度向z轴以v0运动.设圆环电阻均匀、稳定时电势分布为u(φ).求u(φ)?u(o)，其中φ为圆心到环上矢量与x轴夹角.
提示：把电流环视为磁偶极，整体视为均匀磁化棒，把磁化率分解为沿z轴和x?y平面.注意，算内部磁场会因此差一个常数.
二、如图，AB间距为l，高度一样.光滑轻绳长2l，连在AB两点.一个质量为m的小环穿过绳子，绳子一直保持在竖直平面内.
（1）求小环在最低点的小振动频率
（2）把小环换成一个质量为m，半径为r?l的均匀圆盘，盘和绳之间纯滚动.求圆盘在最低点的振动频率.
三、相对论
三个质点，如图以相同大小的速度v=0.6c运动，c为光速，在S系中的t=0时刻时，分别位于(0,0),(l,0),(l,l)，为方便计算，令l=10l.y.（l.y.指光年）.A在此时发出一短束激光，使其能与C相遇.不考虑质点相碰.
（1）求S系中激光束与C相遇的时刻t1；
（2）求在A系中，激光发射方向与xx方向之间的夹角的余弦值cosθ′；
（3）A系与S系采用标准对时方式，即A与原点重合时，两个参考系各自将自己参考系中的时间调至时刻，求在A的参考系中，激光束与C相遇的时刻t′1； （4）A系中，A到坐标原点时，AC之间的距离l′AC； （5）A系中，相继与B、C相遇的时间间隔t′2；
（6）若以C接收激光束的时刻为起点，C的参考系中测量AB相遇的时刻t′′3为多少？
四、空间中以面心立方堆积分排着无穷个结点（左图是一个边长为的立方体重复单元，顶点和面心是结点），相邻点（间距√2l/2）之间连接有电阻为r的导线.右图为1个结点和相邻结点之间的连接情况.
（1）计算无穷网络中相邻结点（如A、B）之间的等效电阻RAB/r；
（2）接上一问，若剪去AB之间直接相连的电阻，求AB之间等效电阻R′AB/r；
（3）记网络中次近邻点（如AC）之间等效电阻为RAC，再次近邻间（如AD）电阻为RAD，再次近邻间（如AE）电阻为RAE，求x=(2RAC+4RAD+RAE)/r.
五、鹏鹏老师在湖边观察落日，当湖面完全静止的时候倒影几乎是一个光点，但是湖面有波浪的时候，倒影几乎总是一个长轴指向太阳方向的椭圆.我们将建立一个简易的模型解释这个现象.取一阶小量近似.
先建立湖面的模型，以平静湖面上能进入人眼的光线的入射点为原点，竖直向上为z轴，平面中指向太阳为y轴，建立立体直角坐标架.设水波振幅足够小，在(x,y)附近的水面可以写为z(x,y)=Acos(kxx+kyy?ωt)，其中k2x+k2y=(2πλ)2，A?λ，计算中取A=0.1m,λ=10m，对于不同x,y处，(kx,ky)波矢大小几乎不变，但方向会随机分布，即在(x,y)附近，水面可以视为一小块平面镜，不同地方的平面镜方向会随机分布.
（1）取t=0时刻，用kx,A,φ表示在(x,y)附近的水面的单位法向量(nx,ny,nz)中的nx （2）接（1），求ny； （3）接（1），求nz；
（4）考虑不同地方水面kx,ky,φ的随机分布，水面法向量分布在nx～nx+dnx,ny～ny+dny的概率为dp=f(nx,ny)dnxdny，用A,λ表达f(nx,ny).
（5）再建立光路模型，将阳光视为以θ角入射的平行光，在人的视野中以视角为坐标轴，水平方向偏角为ξ，向上偏角为η，平静湖面倒影为原点，建立坐标架.将水面视为局域的镜面.计算法向为(nx1,ny1,nz1),nx1,ny1?1的水面对应的反射光对应人眼中的视角(ξ0,η0)中的ξ0，用nx1,ny1,θ表示； （6）接（5），求η0；
（7）接（5）在视角ξ～ξ+dξ,η～η+dη范围内，有反射光线的概率为dp=g(ξ,η)dξdη，其中ξ,η?1，用ξ,η,A,λ,θ表达g(ξ,η).
六、如图，一个宽为λr的轻质粗糙水杯，正放在一个半径为r的固定圆柱上.
（1）杯中有高度为ηr的冰，求能使体系稳定平衡在正立位置的最大高度η1；
（2）杯中有高度为ηr的水，求能使体系稳定平衡在正立位置的最大高度η2； （3）接（2），求（2）中有解的条件中，λ的非零临界值λc
七、如图，两条光滑的电阻电感均不计的足够长的水平导轨间距为l.空间中有竖直向下的磁场B，一根质量为m，等效电感为L的金属杆搭在导轨上，初态静止.电路中有一个充电压为λU0的电容C和两个阈值电压为U0的理想二极管. 求闭合开关足够长时间之后，金属杆的末态速度.
八、如图，一个质量为M=Nm的一端封闭的一维钢管中有N个质量为m的钢球.钢管初态静止在光滑地面上，所有的碰撞都是弹性的，钢球的初速度沿管方向，不考虑摩擦.
（1）N=4，钢球初态速度大小v0，一半向左，一半向右，求末态钢管稳定速度vf1/v0； （2）接上一问，令N→∞，求末态钢管稳定速度vf2/v0；
（3）接上一问，令N→∞，把钢球换为hν=m0c2的光子，令光子被钢管弹性反射，求末态钢管稳定速度vf3/c.
第10届UPhO试题
