导数练习题
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示．
（I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?1f?(x)?5x?m3的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数f(x)的图象的在x?4处切线的斜率为
1mg(x)?x3?x2[f'(x)?]在区间（1，3）上不是单调函数，求
323,若函数2m的取值范围．
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
（II）若方程
(2a?3)2f(x)??9恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
|f(2sin?)?f(2sin?)|?81．（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：
4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?ex?x，g(x)?x2?alnx． （I）写出f(x)的单调递增区间，并证明ea?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,ea)上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1．
（I）当k?1时，求函数f(x)的最大值；
（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；
6．（本小题满分12分）
已知x?2是函数f(x)?(x2?ax?2a?3)ex的一个极值点（e?2.718???）． （I）求实数a的值；
（II）求函数f(x)在x?[3,3]的最大值和最小值．
2 7．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x2?4x?(2?a)lnx,(a?R,a?0) （I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间； （II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?6)?alnx在x?(2,??)上不具有单调性． ．．．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若f?(x)是f(x)的导函数，设g(x)?f?(x)?6?272x2，试证明：对任意两个不
相等正数x1、x2，不等式|g(x1)?g(x2)|?38|x1?x2|恒成立． 9．（本小题满分12分）
12 （I）讨论函数f(x)的单调性；
已知函数f(x)?x2?ax?(a?1)lnx,a?1.
f(x1)?f(x2)??1.
x1?x2 （II）证明：若a?5,则对任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有 10．（本小题满分14分）
12（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求
已知函数f(x)?x2?alnx,g(x)?(a?1)x,a??1． 实数a的取值范围；
（II）若a?(1,e](e?2.71828)，设F(x)?不等式|F(x1)?F(x2)|?1成立．
f(x)?g(x)，求证：当x1,x2?[1,a]时，
11．（本小题满分12分）
设曲线C：f(x)?lnx?ex（e?2.71828???），f?(x)表示f(x)导函数． （I）求函数f(x)的极值；
（II）对于曲线C上的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1?x2，求证：存在唯一的x0?(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f?(x0)． 12．（本小题满分14分）
定义F(x,y)?(1?x)y,x,y?(0,??)，
（I）令函数f(x)?F(3,log2(2x?x2?4))，写出函数f(x)的定义域；
（II）令函数g(x)?F(1,log2(x3?ax2?bx?1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
（III）当x,y?N*且x?y时，求证F(x,y)?F(y,x)．
导数练习题答案
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示．
（I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?1f?(x)?5x?m3的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：函数f(x)的导函数为 f'(x)?3ax2?2bx?c?3a?2b …………（2分） （I）由图可知 函数f(x)的图象过点（0，3），且f'(1)?0 得
?d?3??3a?2b?c?3a?2b?0?d?3 ???c?0 …………（4分）
（II）依题意
f'(2)??3且f(2)?5
?12a?4b?3a?2b??3 ?8a?4b?6a?4b?3?5?
解得 a?1,b??6 所以f(x)?x3?6x2?9x?3 …………（8分） （III）f?(x)?3x2?12x?9．可转化为：x3?6x2?9x?3??x2?4x?3??5x?m有三个
不等实根，即：g?x??x3?7x2?8x?m与x轴有三个交点； g??x??3x2?14x?8??3x?2??x?4?，
x g??x? g?x? 2?????,? 3??2 3?2?4? ?，?3?4 ?4，??? + 增 + 增 0 极大值 - 减 0 极小值 ?2?68g????m,g?4???16?m． …………（10分） ?3?272?68?m?0且g?4???16?m?0时，有三个交点， 当且仅当g?????3?27故而，?16?m?68为所求． …………（12分）
272．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数f(x)的图象的在x?4处切线的斜率为
1mg(x)?x3?x2[f'(x)?]在区间（1，3）上不是单调函数，求
323,若函数2m的取值范围．
解：（I）f'(x)?a(1?x)(x?0) x?0,1?,减区间为当a?0时,f(x)的单调增区间为?1,???
（2分）
当a?0时,f(x)的单调增区间为?1,???,减区间为?0,1?;
当a=1时，f(x)不是单调函数 （II）f'(4)??（5分）
3a3?得a??2,f(x)??2lnx?2x?3 421m?g(x)?x3?(?2)x2?2x,?g'(x)?x2?(m?4)x?2（6分）
32?g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g'(0)??2
?g'(1)?0, ???g'(3)?0.?m??3,19m?(?,?3) （8分）??（10分）19?3m?,?3?（12分）
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
（II）若方程
(2a?3)2f(x)??9恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
|f(2sin?)?f(2sin?)|?81．（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：
解：（I）f(0)?0?c?0,f?(x)?3x2?2ax?b,f?(1)?0?b??2a?3 ?f?(x)?3x2?2ax?(2a?3)?(x?1)(3x?2a?3),
由f?(x)?0?x?1或x??2a?3，因为当x?1时取得极大值，
3 所以?2a?3?1?a??3，所以a的取值范围是:(??,?3)；
3………
…（4分） （II）由下表： x f?(x) f(x) (??,1) 1 (1,?2a?3)3 ?2a?3 3(?2a?3,??)3 + 递增 0 极大值?a?2 - 递减 0 极小值 a?6(2a?3) 2- 递增 ，解得：a??9
………
27
a?6(2a?3)22(2a?3)??依题意得：279 所以函数f(x)的解析式是：f(x)?x3?9x2?15x
…（10分）
（III）对任意的实数?,?都有?2?2sin??2,?2?2sin??2,
在区间[-2，2]有： f(?2)??8?36?30??74,f(1)?7,f(2)?8?36?30?2 f(x)的最大值是f(1)?7,f(x)的最小值是f(?2)??8?36?30??74 函数f(x)在区间[?2,2]上的最大值与最小值的差等于81， 所以|f(2sin?)?f(2sin?)|?81．
………
…（14分） 4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?ex?x，g(x)?x2?alnx． （I）写出f(x)的单调递增区间，并证明ea?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,ea)上零点的个数． 解：（I）f?(x)?ex?1?0，得f(x)的单调递增区间是(0,??)， …………（2分） ∵a?0，∴f(a)?f(0)?1，∴ea?a?1?a，即ea?a． …………（4分）
2a2a)(x?)a22（II）g?(x)?2x??，由g?(x)?0，得x?2a2xx2a2a2a(0,) (,??) x 222g?(x) - 0 + 2(x?g(x) ，列表
单调递减 极小值 单调递增 2aaa)?(1?ln)，无极大值． 222当x?2a2时，函数y?g(x)取极小值g( …………（6
人教A版高中数学选修2-2《导数综合练习题》
