等差数列
一：等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．递推公式：an－an－1＝d(n≥2) [点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二：等差数列的通项公式
【例1】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项公式为：an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) [点睛] 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． 例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
???a1＋4d＝－1，?a1＝－5，
?[解] (1)∵a5＝－1，a8＝2，∴解得? ?a1＋7d＝2，???d＝1.
(2)设数列{an}的公差为d.
???a1＋a1＋5d＝12，?a1＝1，
?由已知得，解得? ?a1＋3d＝7，???d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17. 跟踪训练1．2 018是等差数列4,6,8，…的( ) A．第1 006项 C．第1 008项
B．第1 007项 D．第1 009项
解析：选C ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2 018＝2n＋2，∴n＝1 008.
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
???a1＋?15－1?d＝33，?a1＝－23，
由已知?解得?
?a1＋?61－1?d＝217，???d＝4.
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项. 二：等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式a＋b是A＝. 2
【例2】 ：已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式． [解] 在等差数列{an}中，
∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
????a2＋a4＝12，?a2＝11，?a2＝1，??∴解得或? ?a2·??a4＝11.a4＝11，??a4＝1???a2＝11，当?时，a1＝16，d＝－5. ?a＝1?4
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
?a2＝1，?当?时，a1＝－4，d＝5. ?a＝11?4
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9. 跟踪训练
1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列， 8＋2＝2a，??
所以?a＋b＝2×2，
??2＋c＝2b.
a＝5，??
解得?b＝－1，
??c＝－4.
答案：5 －1 －4
2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________. 解析：由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21. 答案：21
四：等差数列证明方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}为等差数列
41
【例3】已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数
an－1an－2列．
证明：[法一 定义法]
1
∵bn＋1＝＝
an＋1－2?
1an
＝， 4?2?an－2??4－an?－2
an－2an11
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*)．
2?an－2?an－22?an－2?211
又b1＝＝，
a1－22
11
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
22[法二 等差中项法] 1
∵bn＝，
an－21
∴bn＋1＝＝
an＋1－2?
1an
＝. 4?2?an－2??4－an?－2
44－anan＋1an－1
∴bn＋2＝＝＝.
42?an＋1－2??a－2n
2?4－a－2??n∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝
an－11an
＋－2×＝0. an－2an－22?an－2?
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)， ∴数列{bn}是等差数列．
111
跟踪训练 已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋
abcc)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列． 111211解：∵，，成等差数列，∴＝＋，
abcbac2a＋c∴＝，即2ac＝b(a＋c)． bac
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2. ∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)， ∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列． 五．等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列， 1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d
2：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（m，n，p，q?N*）特别地，当p=q即m＋n＝2p(m，n，p?N*)时，am＋an＝2ap.
3：对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2
＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
4：{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； 5：{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； 6：{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
7：若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
【例4】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列，
55
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.
22
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________. [解析] 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100，即a37＋b37＝100. 跟踪训练
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________. 解析： ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4， 又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
2．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_________. 解：∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234. 六：常见设元技巧
1：某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
2：三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； 3：四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d
【例5】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
????a－d?＋a＋?a＋d?＝9，?a＝3，?则解得?∴这三个数为4,3,2. ??a－d?a＝6?a＋d?，???d＝－1.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
3
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
2得?1-??3??3?9
d??1?d?＝－8，即1－4d2＝－8， 2??2?化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4.
跟踪训练 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
??a－3d?＋?a－d?＋?a＋d?＋?a＋3d?＝26，?
由题设知?解得
???a－d??a＋d?＝40，
?
?3?d＝2
13a＝，2
?或?3
d＝－?2.
13a＝，
2
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 七：实际应用问题
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
【例6】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方
面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ [解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由an＝220－20n<0，得n>11，
等差数列
