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高考中的圆锥曲线
山西省盂县旧党校 马志君 045100
圆锥曲线是高考必考内容，也是难点，考查内容主要有：考查圆锥曲线的标准方程；考查圆锥曲线的性质；考查圆锥曲线的两个定义，考查直线与圆锥曲线，考查圆锥曲线与其它知识的交汇。
一、 考查圆锥曲线的标准方程
x2y2例1 （2007·天津理）设双曲线2-2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，且它的
ab一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
x2y2x2y2x22y2x2y2A、-=1 B、-=1 C、-=1 D、-=1
122448963363解：y2=4x的准线为x=-1
?a2???1??a?3?c∴? ∴? ∴b2=9-3=6
?c?3?c?3??a故选D。
点评：本题直接求出a、b，代入双曲线标准方程中求。 二、 考查圆锥曲线的性质
例2 （1）（2007·全国I理）抛物线y2=4x焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分，相交于点A，AK⊥l垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A、4 B、33 C、43 D、8
x2y2（2）（2007·湖南理）设F1、F2分别是椭圆2+2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
ab若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是
（ ） A、?0,
?????3?22?3??0, B、 C、（，1） D、 ???,1???22??3??3?y B A K O F 精心校对 x
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解：(1)由抛物线的定义|AF|=|AK| ∴∠AFK=∠AKF，而∠AKF=∠KFO
∴∠AFK=60°，∴△AKF为等边三角形，作FB⊥AK于B 则AK=2BK=2P=4，∴S△AKF=
3·42=43，故选C 41y1a22（2）设P（，y1）则
1?a2c??c2?cy1=-1 因为y12?0
a2??cc?c??c??c?∴3???2???1?0 1?a??a?42c3? 故选D a3
点评：(1)题利用了双曲线的定义及P的几何意义，等腰三角形三线一性质是解决本题的关
?c??c?键。（2）依题意列出斜率积等于-1，得到3???2???1?0。解出 1?a??a?42c3?。 a3三、 考查圆锥曲线的两个定义
凡已知圆锥曲线上的点与圆锥曲线的焦点，则应考虑用圆锥曲线的两个定义解题。 例3 （2007·重庆理）过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为 。
y P A B O Q F x
解：c2=4+4，c=22，∴F（22，0） 直线PF方程为：y=tan105°（x-22）=-（2+3）（x-22） 把它代入x2-y2=4得x2-（2+3）2（x-22）2=4 即（6+43）x2-（7+43）42x+60+323=0
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∴x1+x2=
(7?43)4262?46=
36?43=2+43
x1·x2=
60?3236?43设双曲线x2-y2=4的右准线为l：则l方程为x=
422=2
作PA⊥l，QB⊥l于A、B，由双曲线的第二定义知：
|QF||PF|=e，=e， |QB||PA|设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴|FP||QF|=e2·|PA|·|QB|=e2|2-x1|·|x2-2| =2|-x1x2+2（x1+x2）-2|=2|-2-43-262?4683-2|=
33点评：本题利用了双曲线的第二定义，考查了学生的综合运算能力。
四、 考查直线与圆锥曲线的位置关系
例4 （2007·湖南理）已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点。
→ → → →
（1） 若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O为坐标原点）求点M的轨迹
方程；
→ →
（2） 在x轴上理否存在定点C，使CA·CB为常数；若存在，求出点C的坐
标，若不存在，请说明理由。
解：（1）由条件知，F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
→ → → →
设M（x，y），则F1M=（x+2，y），F1A=（x1+2，y1），F1B=（x2+2，y2），F1O=（2，0）
→ → → → 由F1M=F1A+F1B+F1O得
?x?2?x1?x2?6?x1?x2?x?4即? ?y?y?yy?y?y122??1于是AB的中点坐标为（
x?4y,） 22yy?y2y2当AB不与x轴垂直时，1==即 x1?x2x?4x?8?22yy1-y2=（x1-x2）
x?8因为A、B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2 两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
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人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习高考中的圆锥曲线
