奇偶性知识点的归纳与提高训练
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫偶函数．如果对于f(x)函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．结论通俗而易懂，不知你是否看透了其中奥妙？
定义中，“f(－x)＝－f(x)，（或f(－x)＝f(x)）”这句话之涵义，隐含了对函数f(x)定义域M内的一切x，f(－x)也要有意义，换句话说，当x∈M时，－x也必须∈M，体现出函数的定义域M关于原点对称．从奇、偶函数图象的对称性，也体现了这一点，无此条件，函数f(x)无奇偶性可言．
一、抓住f(－x)与f(x)的关系
例1 对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(ｘ)，在它们的公共定义域内，下列命题正确的是 （ ）
Ａ．若f(x)和g(ｘ)都是奇函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是奇函数 Ｂ．若f(x)和g(ｘ)都是偶函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是偶函数 Ｃ．若f(x)是奇函数，g(ｘ)都是偶函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是偶函数 Ｄ．若f(x)和g(ｘ)都是奇函数，则F(x)＝f(x)＋g(ｘ)不一定是奇函数
分析 该题的最大特点是已经告知了函数F(x)的定义域关于原点对称，因此判定F(x)的奇偶性，只要看F(－x)与F(x)的关系即可．
解 若f(x)和g(ｘ)都是偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，于是，F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝F(x)，又函数F(x)的定义域是函数f(x)和g(ｘ)的公共定义域，由题设可知其必关于原点对称，故知此时的函数F(x)是偶函数．故选项B正确．
跟踪练习一
1．定义在Ｒ上的任何奇函数f(x)对任意的实数ｘ，都有（ ）
A．f(x)－f(－x)＞０ B．f(x)－f(－x)＜０ C．f(x)·f(－x)＞０ D．f(x)·f(－x)≤0 2．若F(x)＝f(x)－f(－x)（ｘ∈R），则F(x)（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．无法判断 二、扣紧定义域关于原点对称 例2 判断函数f(x)＝1－x＋
1－x2
具有怎样的奇偶性？ 1－x
分析 函数f(x)＝1－x＋
1－x2
＝1－x＋1＋x（x≠1），若忽略了函数的定义域，由f(－x)＝1－x
1＋x ＋1－x ＝f(x)，易得出函数为偶函数的错误结论．因此，判断函数的奇偶性，应从函数的定义域
入手．
??1－x≥0
解 要使函数有意义，只需?1＋x≥0，即函数的定义域是[－1,1)，不关于原点对称．换句话说，f(－
??x≠1
1)有意义，而f(1)却没有意义，所以函数f(x)是一个非奇非偶函数．
注：当函数的定义域不关于原点对称时，无须再做任何工作，则否定函数既不是偶函数，也不是奇函数．
4－x2
例3 判断函数f(x)＝ 的奇偶性
|x＋2|－2
分析：求函数的定义域乃当务之急，只有当函数的定义域关于原点对称，方可进一步考虑f(－x)与f(x)之间的关系，为实施方便，应设法将函数f(x)化简．
2??4－x≥0，
解 要使函数有意义，只需?
?|x＋2|－2≠0?
??－2≤x≤2
即?
?x≠0，x≠－4?
，易求得函数的定义域为[－
2,0)∪(0,2]．故知定义域关于原点对称．
4－x24－x2
由定义域的范围可知，x＋2≥0，∴ f(x)＝ 即f(x)＝ ．
xx＋2－21－x2
由f(－x)＝＝－f(x)，知该函数f(x)为奇函数．
－x注：利用函数奇偶性的定义判断奇偶性的步骤：
第一步：确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：确定f(－x)与f(x)的关系；
第三步：根据定义，作出相应的结论：若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
若第一步中求出的函数定义域不关于原点对称，则不需进行第二步和第三步的判断，而直接得出结论函数既不是奇函数，也不是偶函数．
跟踪练习二
1．已知f(x)=ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则a＝_____，b＝_____． 2．判定下列函数的奇偶性
（1）f(x)＝2x＋x3（－1≤x≤2） （2）f(x)＝x－1 ＋1－x （3）f(x)＝x2－1 ＋1－x2 ＋2 （4）f(x)＝x2－1 ＋1－x2 三、用活等价变形技巧
利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)判定奇偶性是最基本的方法，对于比较复杂的函数，不易看出其中f(－x)
的关系时，则可以借助于等式的变形形式：f(－x)±f(x)＝0或者 ＝±1来判断函数的奇偶性．
f(x)
例4 设f(x)＝ax3－bx－1，f(－5)＝11，求f(5)的值．
分析 若想通过求出a、b的值来求f(5)，显然条件不够，应设法寻求f(－5)与f(5)的关系． 解法一 若注意到g(x)＝ax3－bx是奇函数，g(x)＋g(－x)＝0对一切x成立， 而f(x)＋1＝g(x)，即f(x)＋1为奇函数，
∴ f(x)＋1＋[f(－x)＋1]＝g(x)＋g(－x)＝0对一切x成立，即f(x)＋f(－x)＋2＝0恒成立． 令x＝5，可得 f(5)＋f(－5)＋2＝0，故知 f(5)＝－2－f(－5)＝－13. 解法二 直接考虑 f(x)＋f(－x)
∵ f(x)＝ax3－bx－1,∴ f(－x)＝－ax3＋bx－1
由此可知 f(x)＋f(－x)＝－2．∴ f(5)＋f(－5)＝－2，求得f(5)＝－13．
注：有关这一类型的函数求值，应注意到所给函数由奇、偶函数两部分组成，此时，f(x)与f(－x)相加，则奇函数部分的和为零；f(x)与f(－x)相减，则偶函数部分的差为零．
xx
例5 判断函数f(x)＝x ＋ 的奇偶性．
2－12
分析 函数的定义域是x≠0，只要考察f(－x)与f(x)的结果即可．
解法一（变形法）由2x－1≠0可知，函数的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞)，故定义域关于原点对称． －x－x2x111
又f(－x)＝－x ＋ ＝(－x)( ＋ )＝(－x)( －1＋ ) xx2222－11－21－2
11
＝(－x)( － )＝f(x). x21－2∴ 函数f(x)为偶函数。
注：在将f(－x)转化为f(x)的过程中，存在的一定的灵活性，尚若不能突破，不妨来换一换口味，首先，通过取特殊值，如f(1)、f(－1)来估计，该函数是奇函数还是偶函数？若猜测其为偶，则可将问题转化为考虑f(－x)－f(x)的结果即可。
－x－xxx解法二（转换法）∵ f(－x)－f(x)＝－x ＋ －（x ＋ ）
22－12－12
2x111
＝(－x)( ＋ － ＋ )＝0
1－2x21－2x2
∴ f(－x)＝f(x)．
注：一般情况下，我们将要证的f(－x)＝f(x)转化为f(－x)－f(x)＝0来处理，比较方便运算，个别情况f(－x)
下，也可以计算出 ＝1，来得到f(－x)＝f(x)．
f(x)
跟踪练习三
1．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数,则a等于（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2 2
2．已知函数g(x)＝1＋x ，则g(x)（ ）
2－1
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．是非奇非偶函数 3．设f(x)＝ax6－bx4＋cx2＋x－1，f(－5)＝11，求f(5)的值．
4．已知函数f(x)＝(m2＋m－2)x2＋(m＋2)x＋n－2是奇函数，判断函数g(x)＝xm＋xn的奇偶性．
四、学会欣赏函数图象的对称美
奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形．利用好函数图象的对称特点，可数形结合解题．
例6 已知f(x)和g(x)都是定义域为R的奇函数．
（1）若F(x)＝af(x)＋bg(x)在(0,＋∞)上有最大值4，求F(x)在(－∞,0)上的最小值； （2）若G(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0,＋∞)上有最大值4，求G(x)在(－∞,0)上的最小值．
分析 注意观察F(x)＝af(x)＋bg(x)奇、偶性，然后利用函数的图象的对称性，去观察所求函数的最值． 解 （1）∵f(x)和g(x)都是R上奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，故F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＝－af(x)－bg(x)＝－F(x)，∴F(x)为奇函数．∴F(x)的图象关于原点对称．
由F(x)＝af(x)＋bg(x)在(0,＋∞)上有最大值4，可知F(x)在(－∞,0)上有最小值－4． （2）由（1）可知G(x)－2＝af(x)＋bg(x)为奇函数，且在(0,＋∞)上有最大值2， ∴G(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞,0)有最小值－2，即G(x)－2＝af(x)＋bg(x)≥－2， ∴G(x)＝af(x)＋bg(x)＋2≥0，∴在G(x)在(－∞,0)有最小值0．
例7 设f(x)的定义域是[－5,5]上的奇函数，若当ｘ∈[0,5]时，f(x)的图象如图1.3－9所示，求x·f(x)＜0的解集．
分析 利用奇函数的图象关于原点对称，补上区间[－5,0]的图象，将已知不等式转化后，观察求解．
?x＜0?x＞0
解 不等式x·f(x)＜0可转化为? 或? ，∵f(x)的定义域是[－5,5]上的奇函数，利用奇函
?f(x)＞0?f(x)＜0
数的图象关于原点对称，可将函数在[0,5]上的图象补充到[－5,5]，如图1.3－10所示，由图或观察出不等式的解集为[－5,－2)∪(2,5]．
跟踪练习四
1．奇函数f(x)在区间[10,30]上是减函数，且最小值为８，则f(x)在区间[－30,－10]上是（ ）
A．增函数，且最大值是?8 B．增函数，且最小值是?8 C．减函数，且最大值是?8 D．减函数，且最小值是?8 1
2．函数f(x)＝－x的图象关于（ ）
x
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
3．已知f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，当x＞0时，f(x)的图象如图1.3－11所示：若x·[f(x)－f(－x)]＜0，则x的取值范围是__________．
4．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在(－∞,0)上有最小值－5，a、b为常数，则f(x)在(0,＋∞)上的最大值为_______．
五、利用自身优势求解析式
1．由一半求得另一半
由于奇函数、偶函数图象特有的对称关系，往往可给出解析式（或图象）的一半，让你去联想或探求它的另一半．
1
例8 已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
x
1
分析 x＞0时，有f(x)＝x2－，面对小于0的x，法则f并不为它服务，如何是好？注意到x＜0时，
x－x＞0，对“－x”而言，已经取得了适用法则“f”的资格证书．
解法一 （依定义逐步求）
当x＜0时，－x＞0，由已知的函数解析表达式可得f(－x)＝(－x)2－
11＝x2＋，
x(－x)
奇偶性知识点的归纳与提高训练
