第八章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系
题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 1.抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且 与l相切的圆共有 A．0个
( )
B．1个 D．4个
C．2个
解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又 因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段 FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足 条件的圆． 答案：C
x2y2
2．(2010·广州摸拟)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该
ab1
直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若AB＝BC，则双曲线的离心
2 率是 A.2 C.5
( )
B.3 D.10
解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的渐近线y ba2aba2ab1
＝±x的交点B、C的坐标为B(，)、C(，－)，由AB＝BC得
a2a＋ba＋ba－ba－bc
b＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝a 答案：C
题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 a2＋b2
＝5. a
3.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F 为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( ) 12 A. B. 33
6
222 C. D.
33
解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由拋物线定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|＝|AF|， ∴|AA1|＝2|BB1|， 即B为AC的中点．
??y＝k(x＋2)， 从而yA＝2yB，联立方程组??消去x得：
2
?y＝8x?
8?y＋y＝，AB?8k2
y－y＋16＝0，∴??
k
?yB＝16?yA·8??3yB＝k，22
??消去yB得k＝.
3
?B＝16?2y2 答案：D
4．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等 于
( )
A．3 B．4 C．32 D．42 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，
2??y＝－x＋3 由??x2＋x＋b－3＝0?x1＋x2＝－1，
?y＝x＋b?
11
得AB的中点M(－，－＋b)，
22
11
又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，
22 ∴x2＋x－2＝0， 则|AB|＝ 答案：C
5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设
6
1＋12
(－1)2－4×(－2)＝32.
|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． 解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1.
??y＝x－1， ??x2－6x＋1＝0?x＝3±22. 2
?y＝4x?
∵|FA|>|FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋22，B点的横坐标为3－22. |FA|xA＋14＋222＋26＋42 ＝＝＝＝＝3＋22. |FB|xB＋14－222－22 答案：3＋22
题组三 最值与取值范围问题
x2y26.已知对?k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范
5m 围是
( )
A．(0,1) B．(0,5) D．[1,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点， 1
只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1，
m 又m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5. 答案：C
x2y2
7．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支
ab 上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________． 解析：设∠F1PF2＝θ，由
??|PF1|－|PF2|＝2a， ???|PF1|＝4|PF2|
?|PF|＝3a，
得?2
|PF|＝a，?3
12
8
17a2－9c2179
∴cosθ＝＝－e2. 28a885 ∵cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤.
35
答案：
3
6
第八章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系
