线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC. _ OD 分析： P A _ MC E E A B G B F O D _ A E C _ B如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ _ N_ C方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD
_ D分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN. z 求证：MN‖平面BCE. S E
F
F N B C
C y D M A D A E B
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S△A′B′C′：S△ABC .
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系
（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，
侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；
分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系D?xyz．
设A(a，0，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0)
?a??ab?E?a，，0?，F?0，，?， ?2??22?uuur?b?EF???a，0，?．
2??因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向
r量为n=（0，1，0）
uuurr?b?0，?（g0，1，0）则：EFgn???a，=0 2??uuurr因此 EF?n
所以EF∥平面SAD．
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