第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．两个实数比较大小的方法
a－b＞0?a＞b??
(1)作差法?a－b＝0?a＝ba，b∈R
??a－b＜0?a＜b
??a(2)作商法?＝1?a＝bba??b＜1?a＜b2．不等式的性质 (1)对称性：a>b?b a＞1?a＞bba∈R，b＞0 (2)传递性：a>b，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?ac (5)乘方法则：a>b>0?a>b(n≥2，n∈N)； (6)开方法则：a>b>0? nnnna>b(n≥2，n∈N)； ab11 (7)倒数性质：设ab>0，则a 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 - 1 - 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 x1，x2(x1 ? bb＋m； aa＋mbb＋m. aa＋m2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间． 3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＞b?ac＞bc.( ) (2)若不等式ax＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( ) (3)若方程ax＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c＞0的解集为R.( ) (4)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b－4ac≤0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)设A＝(x－3)，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( ) A．A≥B C．A≤B B [∵A－B＝(x－3)－(x－2)(x－4) ＝x－6x＋9－x＋6x－8 ＝1＞0， ∴A＞B，故选B.] 3．(教材改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.＞ C.＞ B [∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， - 2 - 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 B．A＞B D．A＜B abdcabcdB.＜ D.＜ abdcabcd∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd， ∴－＞－，即＜.故选B.] 4．不等式－x－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x－3x＋4>0得x＋3x－4<0，解得－4 5．(教材改编)若不等式ax2 2 2 2 2 accdbdcdabdc???11 ＋bx＋2＞0的解集为?x?－＜x＜ 3???2 ?? ?，则a＋b＝________. ?? 112 －14 [由题意知x1＝－，x2＝是方程ax＋bx＋2＝0的两个根， 23 b11 －＝－＋，??a23则?211 ＝－??a2×3， ??a＝－12，解得? ?b＝－2? (经检验知满足题意)． ∴a＋b＝－14.] 比较大小及不等式性质的应用 β?ππ?1．设α∈?－，?，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是( ) 3?62? ?2π?A.?0，? 3?? ?π2π?C.?－，? 3??3 ?ππ?D [∵α∈?－，?，β∈[0，π]， ?62??π?β?π?∴2α∈?－，π?，∈?0，?， 3??3?3? π 即－＜2α＜π， 3πβ－≤－≤0. 33 2πβ∴－＜2α－＜π，故选D.] 33 ?π2π?B.?－，? 3??3?2π?D.?－，π? ?3? 2．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是( ) - 3 - A．ab＞ac C．cb＜cb A [∵c＜b＜a，且ac＜0， ∴c＜0，a＞0， ∴ac＜ab， 即A选项正确．] 2 2 B．c(b－a)＜0 D．ac(a－c)＞0 3．设f(x)＝ax＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________． [6,10] [法一：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数m，n，使得4a－2b＝ 2 m(a＋b)＋n(a－b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， ??m＋n＝4，所以? ?m－n＝－2，? ??m＝1， 解得? ?n＝3，? 所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． 又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]． ??f法二：(运用方程思想)由? ?f? －1＝a－b，1＝a＋b， 得 1 a＝[f??2?1??b＝2[f－1＋f11－f－1 ]，]， 所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ??1≤f又? ?3≤f? －1≤2，1≤4， 所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即f(－2)的取值范围是[6,10]．] [规律方法] 1.用同向不等式求差范围的技巧 ??a＜x＜b，??c＜y＜d? ??a＜x＜b，???－d＜－y＜－c? ?a－d＜x－y＜b－c. 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．比较大小的三种常用方法 (1)作差法：直接作差判断正负即可． (2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号． (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较． 一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)3＋2x－x≥0； (2)x－(a＋1)x＋a<0. - 4 - 2 2 [解] (1)原不等式化为x－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0， 当a>1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为?； 当a<1时，原不等式的解集为(a,1)． [母题探究] 将本例(2)中不等式改为ax－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 2 2 ?1?若a<0，原不等式等价于?x－?(x－1)>0， ? a? 1 解得x<或x>1. a?1?若a>0，原不等式等价于?x－?(x－1)<0. ? a? 1?1?①当a＝1时，＝1，?x－?(x－1)<0无解； a?? a?a? 11?1?②当a>1时，<1，解?x－?(x－1)<0得 aa11?1?③当0 a?a? a???1 综上所述：当a<0时，解集为?x?x<或x>1 ???a ?? ?； ?? ???1 当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0 a??????1 时，解集为?x? ??a? ?? ?；当a＝1时，解集为?；当a>1?? ?? ?. ?? [规律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤： 1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R或?. 3求：求出对应的一元二次方程的根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤： 1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系. 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. - 5 -
2020版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案理含解析新人教A版
