2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)
理 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={0,1,2},N={x|x-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1}
B.{2}
C.{0,1}
D.{1,2}
2
2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5
B.5
C.-4+i
D.-4-i
3.设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( ) A.1
B.2
1
C.3 D.5
4.钝角三角形ABC的面积是2,AB=1,BC=√2,则AC=( ) A.5
B.√5
C.2
D.1
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.27
17
B.9
5
C.27
10
D.3 1
7.执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0
B.1
C.2
D.3
??+??-7≤0,
9.设x,y满足约束条件{??-3??+1≤0,则z=2x-y的最大值为( )
3??-??-5≥0,A.10
B.8
2
C.3 D.2
10.设F为抛物线C:y=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.
3√3 4
B.
9√38
C.32
63
D.4 9
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ) A.
101
B.
5π????
2
C.
√30 10
D. 2
2
√22
2
12.设函数f(x)=√3sin.若存在f(x)的极值点x0满足??0+[f(x0)] ( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(x+a)的展开式中,x的系数为15,则a= .(用数字填写答案) 14.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 10 7 15.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是 . 16.设点M(x0,1),若在圆O:x+y=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (Ⅰ)证明{????+}是等比数列,并求{an}的通项公式; 21 2 2 (Ⅱ)证明++…+<. ??1??2 ????2 1113 18.(本小题满分12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积. 19.(本小题满分12分) 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表: 年 份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 (Ⅰ)求y关于t的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ??= 20.(本小题满分12分) 设F1,F2分别是椭圆C:??2+??2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率; 43??2??2 ^∑(????-??)(????-??)^??=1 ??=1?? ∑(????-??) ??2 ,??=??-????. ^ (Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e-e-2x. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值; (Ⅲ)已知1.414 2<√2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001). 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E. 证明:(Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD·DE=2PB. 2x -x 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,2]. (Ⅰ)求C的参数方程; π
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2(正文)
