2021年高考数学（理数）二轮复习练习： 大题规范练01“20题、21题”24分练
1.已知函数f(x)=ax－bx＋ln x，a，b∈R.
(1)当b=2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点分别是x1和x2(x1＜x2)，
3
求证：f(x1)－f(x2)＞－ln 2.
4
22xy
2.已知椭圆C：2＋2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右
ab
顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|=2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43. (1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：x=my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′， 直线A′B交x轴于D，求当三角形ADB的面积最大时，直线l的方程．
2
0.答案详解
1.解：(1)因为b=2a＋1，
2
所以f(x)=ax－(2a＋1)x＋ln x，
1(2ax?1)(x?1)从而f′(x)=2ax－(2a＋1)＋=，x＞0.
xx当a≤0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
111
当0＜a＜时，由f′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f′(x)＜0得1＜x＜，
22a2a
11
所以f(x)在区间(0,1)和区间(,+∞)上单调递增，在区间(1,)上单调递减．
2a2a
1
当a=时，因为f′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号)，
2
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
111
当a＞时，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f′(x)＜0得＜x＜1，
22a2a
11
所以f(x)在区间(0,)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(,1)上单调递减．
2a2a
综上，当a≤0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；
111
当0＜a＜时，f(x)在区间(0,1)和区间(,+∞)上单调递增，在区间(1,)上单调递减；
22a2a1
当a=时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；
2111
当a＞时，f(x)在区间(0,)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(,1)上单调递减．
22a2a
2
2x－bx＋12
(2)法一：因为a=1，所以f(x)=x－bx＋ln x(x＞0)，从而f′(x)=，
x
12
由题意知x1，x2是方程2x－bx＋1=0的两个根，故x1x2=.
2
13－b2
记g(x)=2x－bx＋1，因为b＞3，所以g()=＜0，g(1)=3－b＜0，
22
122
所以x1∈(0,)，x2∈(1，＋∞)，且bx1=2x1＋1，bx2=2x2＋1，
2
x1x12222
f(x1)－f(x2)=(x1－x2)－(bx1－bx2)＋ln=－(x1－x2)＋ln，
x2x2
1122
因为x1x2=，所以f(x1)－f(x2)=x2－2－ln(2x2)，x2∈(1，＋∞)．
24x2
t12
令t=2x2∈(2，＋∞)，φ(t)=f(x1)－f(x2)=－－ln t.
22t
2
t－1
因为当t＞2时，φ′(t)=＞0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)上单调递增， 2
2t
33
所以φ(t)＞φ(2)=－ln 2，即f(x1)－f(x2)＞－ln 2.
44
2
2x－bx＋12
法二：因为a=1，所以f(x)=x－bx＋ln x(x＞0)，从而f′(x)=，
x
12
由题意知x1，x2是方程2x－bx＋1=0的两个根，故x1x2=.
2
13－b2
记g(x)=2x－bx＋1，因为b＞3，所以g()=＜0，g(1)=3－b＜0，
22
1
所以x1∈(0,)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在(x1，x2)上是减函数，
2
13b
所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)=－＋－ln 2，
242
3b3
因为b＞3，所以f(x1)－f(x2)＞－＋－ln 2＞－ln 2.
424
1
2.解：(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab=43，得ab=23.
2
延长F2Q交直线F1P于点R(图略)，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线， 所以|PF2|=|PR|，Q为F2R的中点，
|F1R||F1P|＋|PR||F1P|＋|PF2|
所以|OQ|====a，
222
所以a=2，b=3，
xy
所以椭圆C的方程为＋=1.
43
x＝my＋4，??22
(2)将直线l和椭圆的方程联立得?xy
＋＝1，??43
2
2
2
2
2
消去x，得(3m＋4)y＋24my＋36=0，
2
22
所以Δ=(24m)－4×36(3m＋4)=144(m－4)＞0，即m＞4.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)， －24m
y＋y＝，??3m＋4
由根与系数的关系，得?36
yy＝??3m＋4，
1
2
2
12
2
y2＋y1
直线A′B的斜率k=，
x2－x1
y2＋y1
所以直线A′B的方程为y＋y1=(x－x1)，
x2－x1
x1y2＋x2y1my1＋4y2＋y1my2＋42my1y2＋4y1＋y22my1y2
令y=0得xD====＋4，
y1＋y2y1＋y2y1＋y2y1＋y2
3
故xD=1，所以点D到直线l的距离d=， 2
1＋m13
所以S△ADB=|AB|d=
22
y1＋y2
2
m－4
－4y1y2=18·2.
3m＋4
2
t1818332
令t=m－4(t＞0)，则S△ADB=18·2=≤=，
3t＋161623×164
3t＋
t
162212162228
当且仅当3t=，即t==m－4，即m=＞4，m=±时，三角形ADB的面积最大，
t333所以直线l的方程为3x＋221y－12=0或3x－221y－12=0.
2021年高考数学二轮复习练习：大题规范练01“20题、21题”24分练(含答案详解)
