课时作业28 平面向量的数量积及应用举例
1．(2019·合肥质检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝( B ) A．2 B．23 C．3 D．25
解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a＋b＝16－2＝14， ∴|a－b|＝a－2a·b＋b＝14－2×1＝12， ∴|a－b|＝23.
2π
2．(2019·洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且
3(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( D )
A．－7 C．2
B．－3 D．3
2
2
2
2
2
2π22
解析：依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a－λb＋(2λ3－1)a·b＝0,3λ＋9＝0，λ＝3.
3．如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( A )
A．27 C．2
则F3＝－(F1＋F2)，
即F3＝F1＋F2＋2F1·F2＝F1＋F2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝28.故|F3|＝27.
→
4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且BN＝→→→
2NC，O为△ABC的外心，则AN·AO的值为( D )
A．8 B．10 C．18 D．9
2
2
2
2
2
B．25 D．6
解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，
1
→→→→→
12
解析：由于BN＝2NC，则AN＝AB＋AC，
33取AB的中点为E，连接OE， →→
由于O为△ABC的外心，则EO⊥AB，
→→
?1→→?→1→212
∴AO·AB＝?AB＋EO?·AB＝AB＝×6＝18，
22?2?→→→
12129
同理可得AC·AO＝AC＝×3＝，
222
→→
?1→2→?→1→→2→→129
所以AN·AO＝?AB＋AC?·AO＝AB·AO＋AC·AO＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.
333323??3→
5．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝→
→→?AB?AC＋OA＋λ??，λ∈(0，＋∞)，则( D ) →→
?|AB|cosB|AC|cosC?A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心 C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 →
解析：由条件，得AP＝λ→→?AB?AC?→＋→?， ?|AB|cosB|AC|cosC?
→→
从而AP·BC＝λ→→→→?AB?·BCAC·BC?→＋→? ?|AB|cosB|AC|cosC?
→→→→|AB||BC|cos180°－B|AC||BC|cosC＝λ·＋λ·＝0，
→→|AB|cosB|AC|cosC→→
所以AP⊥BC，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
→→→→
6．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP＝λAB，若OP·AB→→
≥PA·PB，则实数λ的取值范围是( B )
1
A.≤λ≤1 2
B．1－
2
≤λ≤1 2
2
12C.≤λ≤1＋ 22
D．1－
22
≤λ≤1＋ 22
→→→→→→→→→
解析：因为AP＝λAB，OP＝(1－λ，λ)，AP＝λAB＝(－λ，λ)，OP·AB≥PA·PB，所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，所以2λ－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋
2
2
2
2
，因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的2
2
≤λ≤1. 2
取值范围是1－
1
7．(2019·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，
2则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( B )
A．－2 C．－1
1
解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，
2
B．3－3 D．0
π
可得〈a，b〉＝.
3
→→→
令OA＝a，OB＝b，以OA的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， →→
3??1
则a＝OA＝(1,0)，b＝OB＝?，?，
?22?→
设c＝OC＝(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，
13??2
则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b－b·c＝3－?cosθ＋cosθ＋sinθ?＝3－
22??π??θ＋3sin?，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－3，故选B.
3???
8．(2019·河南天一联考测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝60°，D，E 3
2020高考数学总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业28理(含解析)新人教A版
