答案：
一、选择题（每小题4分） 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 10 A 二、填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分；第19小题，答对一个答案2分） 题号 答案 题号 答案 11 2c 16 12 13 2.007?10?4 17 ?6 18 14 ? 19 15 6;14 20 hope 2.5 16 888 5?26或 ?5?26 三、解答题
21（1）连接CO，易知△AOC是直角三角形，?ACO?90,?AOC?30 所以AO?2AC?2a
（2）如图1，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍 因为AM?(2??23AM22a2a )?() 解得AM?322123?a?a?43a2 23所以大六角星形的面积是S?12?
（3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以，大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3 22．（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s?kt 将(2.4,48)代入，解得k?20 所以s?20t
由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当s?30千米时，
s30。即甲车出发1.5小时后被乙车追上 ??1.5（小时）
2020（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s?pt?m t?35
将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得??0?p?m?p?60，解得?
?30?1.5p?m?m??60所以s?60t?60
当乙车到达B地时，s?48千米。代入s?60t?60，得t?1.8小时 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s??30t?n 将（1.8，48）代入，得48??30?1.8?n，解得n?102 所以s??30t?102
当甲车与乙车迎面相遇时，有?30t?102?20t
解得t?2.04小时 代入s?20t，得s?40.8千米 即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇
（3）当乙车返回到A地时，有?30t?102?0 解得t?3.4小时 甲车要比乙车先回到A地，速度应大于
48?48（千米/小时）
3.4?2.423．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段
6?9?27（条） 2（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段
1[2?(3?4)?3?(2?4)?4?(2?3)]?26（条） 2（3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段 1[a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)]?ab?bc?ac（条） 2若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为
(a?1)(b?1)?(b?1)c?(a?1)c?ab?bc?ca?a?b?1
与原来线段的条数的差是a?b?1，即
当a?b时，a?b?1?0，此时平面上的线段条数不减少 当a?b时，a?b?1?0此时平面上的线段条数一定减少
由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多 设三组中都有x个点，则线段条数为3x?192 解得x?8 所以 平面上至少有24个点
236
2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
试题
（2008年4月13日上午9：00—11：00）
一、选择题（每小题4分，满分40分） 1．将数字“6”旋转1800，得到数字“9”；将数字“9”旋转1800，得到数字“6”；那么将两位数“69”旋转1800，得到的数字是（ ）
A、69 B、96 C、66 D、99 2．关于x,y的方程组??x?ay?1?0,有无数组解，则a,b的值为（ ）
?bx?2y?1?0A、a?0,b?0 B、a??2,b?1 C、a?2,b??1 D、a?2,b?1
3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是(a,b)，底边AB的中线在1、3象限的角平分线上，则点B的坐标为（ ）
A、(b,a) B、(?a,?b) C、(a,?b) D、?(a,b)
4．给出两列数：（1）1，3，5，7，?，2007；（2）1，6，11，16，?，2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ）
A、201 B、200 C、199 D、198
5．If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( )
A、1:2:3 B、1:1:2 C、1:3:2 D、1:2:5
（英汉小词典：possible 可能的；area面积；ratio比率、比值） 6．有面值为10元、20元、50元的人民币（每种至少一张），合计1000元，那么面值为20元的人民币有（ ）张
A、2或4 B、4 C、4或8 D、2到4之间的任意偶数
7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次．这样的四位数有（ ） A、33个 B、36个 C、37个 D、39个
E D A 8．如图1，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将它折叠，使点D与点B重合，求折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ） A、5cm,10cm B、5cm,3cm C、6cm,10cm D、5cm,4cm
9．如图2，函数y?mx?4m的图象分别交x轴、y轴于点N、M，线点A、B在x轴上的垂足分别为A1、B1，若OA1?OB1?4，则?OA1A与?OB1B的面积S2的大小关系是（ ） A、S1?S2 B、S1?S2 C、S1?S2 D、不确定的
3B y F C′ N A 图1 B M A1 B1 图2
C 段MN上两的面积S1x O 10.已知a是方程x?3x?1?0的一个实数根，则直线y?ax?1?a不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
37
二、填空题（每小题4分，满分40分）
32008?152008?7?11．化简：??，得到 ． 200820087?35?3?12．三位数3ab的2倍等于ab8，则3ab等于 ．
13．当x?2时，化简代数式x?2x?1?14．已知f(x)?1004x?2x?1，得 ．
111，并且f(a)?0，则a等于 ． ??xx?1x?215．If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is .
（英汉小词典：4-digit natural number四位自然数；difference差；square numbers完全平方数） 16．将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠A= ．
17．将100只乒乓球放在n个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”，如当n=3时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为8，8，84；若当n=5时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 ．
18．已知一个有序数组(a,b,c,d)，现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1)，使
a1?a?b,b1?a?c,c1?c?d,d1?d?a，
按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2)，?，(an,bn,cn,dn)，若1000?an?bn?cn?dn?200，则0n? ．
a?b?c?dy B O A 图3
x 的点D，经的光线恰好
19．如图3，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，要使最后经y轴再反射通过点A，则点D的坐标为 ．
20．某条直线公路上有A1,A2,?,A11共11个车站，且
AiAi?2?12km(i?1,2,3,?,9),AiAi?3?17km(i?1,2,3,?,8)，
若A1A11?56km，则A10A11?A2A7? km． 三、解答题（共3个小题，满分40分）
21．（本题满分10分）如图，在Rt?ABC中，?ACB?90，AC=BC=10，CD是射线，?BCF?60，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．
A
F
D
E
B C
22．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，ΔABC满足：∠C=900，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C随着在y轴上运动． （1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？ y B
C
38
00O A x
23．（本题满分15分）已知m,n(m?n)是正整数． （1）若3与3的末位数字相同，求m?n的最小值； （2）若3与3的末两位数字都相同，求m?n的最小值；
mnmn第十九届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案与评分标准
初二 第2试
39
最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总（含答案与提示） - 图文
