11、如果|a|=3，|b|=5，那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 . 12、已知
112x?5xy?2y= . ??5，则
xyx?2xy?y13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶
2a千米，则11∶20时距离B地33a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶20时已经4超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。
14、若M?abc321是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .
15、分解因式：(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x? .
16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M= ； m= .
17、如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3，?，则AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9= ；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .
2B D1
D3
D5
D2 D4 图1
E B 图3
图4
C A F C A 18、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4，
且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。
19、如图4，△ABC中，BC∶AC=3∶5，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5，那么△CEF与整个图形的面积比等于 .
20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 . 三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程.
21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点， 且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按 逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按 顺时针方向以速度v2沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。 假设两人跑步时间足够长。求：
15
图2
甲 A 乙 乙 B 甲
图5
⑴如果v1∶v2=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？ ⑵如果v1∶v2=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？
22、⑴如果a是小于20的质数，且
1可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？ a1⑵如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
a
23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求： ⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长； ⑵△PBD的周长的最小值。
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
A P
B D 图6
C 参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C A B C A A
二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分）
14 15 16 17 18 19 20 题号 11 12 13
527 54 468321 (x2?6x?6)2 3；0 312；31 16 21523202512 答案 6 7224
16
三、解答题
21、⑴设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2=2m， 由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是是
400n （2分） 3m400n800?2m?n （3分） 3m3800因为乙跑回到A点处，所以（4分） n应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，
3所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）
⑵设乙跑了250p?200米，甲跑了400q?200米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v1=5m，v2=6m，由题意可得
400q?200250p?2008q?45p?4，即 ， （7分） ??5m6m56所以48q?24?25p?20，即48q?4?25p(p，q均为正整数)。
所以p，q的最小值为q=2，p=4， （8分）
此时，乙跑过的路程为25034＋200=1200（米）。 （9分） 所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。 （10分） 22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分） 除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分） 所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分） 所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分） 23、⑴如图1，当点P运动到AC的中点时，BP⊥AC，DP∥AB， （2分） 所以 BP?311a，DP?a，BD?a， （4分） 222?3??a。 （5分） ?1?2???即△ABC的周长为BP＋DP＋BD=?E
P
P G F
C C B B D D 图2 图1
⑵如图2，作点B关于AC的对称点E，连结EP、EB、ED、EC，则PB＋PD=PE＋PD，因此ED的长就是PB＋PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小。 （7分）
A A 1?1?2从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以BD?a，BE?2a??a??3a。
2?2?因为∠DBF=30°，所以DF?2311a， BD?a，BF?BD2?DF2?42417
EF?BE?BF?337a，DE?DF2?EF2?a。 （9分） 42171?7a?a?a。 （10分） 222所以△PBD的周长的最小值是
18
2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试
初二 第1试
2006年3月19日 上午8：30至10：00
学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．
1．实数m＝20053－2005，下列各数中不能整除m的是（ ） （A）2006 （A）30 （A）55种
（B）2005 （B）32 （B）45种
（C）2004 （C）34 （C）40种
（D）2003 （D）36 （D）30种
2．a，b，c，d是互不相等的正整数，且abcd＝441，那么a＋b＋c＋d的值是（ ） 3．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ） 4．已知m，n是实数，且满足m2＋2n2＋m－（A）
417n＋＝0，则－mn2的平方根是（ ） 336（C）
2 6（B）±
2 61 6（D）±
1 65．某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的
二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的
4．已知初一年级的男生人数与初51，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的4（ ）
1110910（A） （B） （C） （D）
A212119196．如图1，点E、F、G、H、M、N分别在△ABC的BC、AC、AB边上，且NH∥MG∥BC，MEHN→H→E→M→G→F爬行，白蚁沿路线F→B→A→C→F爬行，那么（ ） （A）黑蚁先回到F点 （C）两只蚂蚁同时回到F点 （A）14
（B）15
（B）白蚁先回到F点
BEFNGF→∥NF∥AC，GF∥EH∥AB．有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F点出发，黑蚁沿路线MC图1 （D）哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定
7．一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（ ）
（C）15或16
（D）15或16或17
8．Let a be integral part of 2 and b be its decimal part．Let c be the integral part of ? and d be the decimal part.．if ad－
bc＝m，then（ ）
（A）－2＜m＜－1 （B）－1＜m＜0 （C）0＜m＜1 （D）1＜m＜2
（英汉词典：integral part 整数部分；decimal part 小数部分）
?a2b，当a?b时，9．对a，b，定义运算“＊”如下：a＊b＝?2已知3＊m＝36，则实数m等于（ ）
ab，当a＜b时??（A）23
（B）4
（C）±23
（D）4或±23
10．将连续自然数1，2，3，?，n（n≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a1，a2，a3，?，an．若(a1－1)(a2－2)(a3－3)?
(an－n)恰为奇数，则n（ ） （A）一定是偶数
（B）一定是奇数
（D）一定是2m－1（m是奇数）
（C）可能是奇数，也可能是偶数
二、A组填空题（每小题4分，共40分）
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最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总（含答案与提示） - 图文
