①先在原地向左旋转角度A；②再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离．
现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x轴的正方向，取它的左侧为y轴的正方向，要想让机器人移动到点（?5，5）处，应下指令： ． 13．已知实数x，y，z满足
xyzx?y?z，则x?y?z?____或_____． ???x?1y?2z?3314．已知实数x，y满足2x?3y?4，并且x?0，y?1，则x?y的最大值是 ，最小值是 ． 15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的别如图5中的l1、l2所示，则l1与l2的交点的横坐标m? .(不考虑除养路
油费以外的其它费用)
关系分
费和燃
16．Given f(x)?ax?bx?cx?d,if when x takes the value of its inverse number，the corresponding value of f(x) is also the inverse number,and f(2)?0，then
相反数）
32c?d（英汉小词典：inverse number ? ．a?b17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分． 18．若正整数a,b使等式a?(a?b)(a?b?1)?2009成立,则a? ,b? ．
219．如图6,长为2的三条线段AA'、BB'、CC'交于O点，并且
?B'OA??C'OB??A'OC?60°，则这三个三角形的面积的和S1?S2?S3
“=”、“>”）
20．已知正整数x，y满足2?49?y，则x? ，y? ． 三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）
在分母小于15的最简分数中，求不等于
x23．（填“<”、
22但与最接近的那个分数． 5545
22．（本题满分15分）
如图，一次函数y??3x?3的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，△ABC面积相等时m的值；
3），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与2（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分15分）
点A（4，0），B（0，3）与点C构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数y?上，求k可能取的一切值．
k的图象x46
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初二 第2试
一、选择题（每小题4分）
题号 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C 答案
二、填空题（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）
题号 11 12 13 14 15 16 -4 17 12 18 C56；7 19 < 20 5；9 答案 b(c?1)54 [52，； 22500 -3，0 135o] a?123
三、解答题
21.设所求的最简分数是
m25m?2nm??，?m,n??1，0?m?n，n?15， 则 ， n55nn因为
m2?，且m，n是正整数， n5所以 5m?2n?1.
（1）当5m?2n?1时，有5m?2n?1（当所以 m?m2m2，或5m?2n??1（当?时）， ?时）
n5n52n?12n?1或m?. 55由m是整数，知2n+1或2n-1（n<15）是5的倍数.（5分）
47
要使
m21最小，则n应最大. ??n55nm21.（8分） ??n565由2n+1或2n-1（n<15）是5的倍数，知n最大取13，对应的m=5，此时
（2）当5m?2n?1时，因为n<15，m，n是正整数，
所以
m25m?2n211??≥. ??n55n5?143565综上可知，
m21?的最小值是，此时对应的m=5，n=13， n565故
52是最接近，但分母小于15的最简分数. （10分） 13522.（1）依题意，函数y=?3x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=1；当x=0时，y=3，所以点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，3） 于是 AB=OA?OB=2. 在Rt△ABC中，∠ABC=30o，AB=2.
222设AC=x，则BC=2x，由勾股定理，得x?2?(2x)，得x?222234，x?.
33所以 AC=
23， 3S△ABC=
231AB2AC=. （5分）
32???3??， 2??（2）点P在第二象限内，且P?m,则m<0，S四边形AOPB= S△AOB+S△BOP=
311?1?m?. 3133+333（-m）=222又S△APB= S四边形AOPB- S△AOP=
3?1?m??1?1?3=3?1?2m?， 22243?1?2m??23，解得 m??5. （10分） 43648
由△APB与△ABC的面积相等，得
（3）这样的点存在，一共有6个，分别是：
以AB为底边的等腰三角形有两个，这时，Q点的坐标是（-1，0）或（0，
3）； 3以AB为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q点的坐标是
（0，3?2），（0，3?2），（0，?3），（3，0）. （15分）
23.点A和点B之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边， 设点C的坐标是（a，b），则
2222????a?4??b?9，??a?4??b?16， ① 或者? ② （5分） ?2222???a??b?3??16.?a??b?3??9.22?1?a?b?8a?16?9， 对于①，有?2 两式相减，得 ，因此 b?(4a?7)， 8a?6b?14?023?a?b?6b?9?16.?将它代入①的第二个式子，得
1(a?4)(25a?28)?0， 9解得 a?4，或a?21?2821?28，对应的b的值是3或?，所以点C的坐标是（4，3）或?，??. 2525?2525?对应的k的值是12或?588. （10分） 62522?4?a?b?8a?16?16，对于②，有?2 两式相减，得 ，因此 b?a， 8a?6b?023??a?b?6b?9?9.1a(25a?72)?0， 97296解得 a?0，或a?，对应的b的值是0或.
2525将它代入②的第一个式子，得
因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C的坐标是??7296?，?， 2525??对应的k的值是
6912. 6255886912或. （15分）
625625综上所述，k的值是12或?
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最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总（含答案与提示） - 图文
