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【情景激趣我爱读】 （1）查阅资料明确二倍角是两角和与差的三角函数的特殊情况。 （2）通过教材题目明确二倍角公式的应用。 【学习目标我预览】 学习目标 1. 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基实现地点 “基础知识我填充”→1、2、4；“基础题型我先练”→1,2；“典型例题我剖析”→典例2；“变式思维我迁移”础，推导二倍角正弦、→2；“方法技巧我感悟”→4；“易错问题我纠错”→1；余弦和正切公式；. “课后巩固我做主”→2、4、5、6、7、10、12、13、16、17. 2二倍角的正弦、余弦、“基础知识我填充”→3、5；“基础题型我先练”→3、正切公式的变形，二倍角公式的简单应用； 4；“典型例题我剖析”→典例1；“变式思维我迁移”→1；“方法技巧我感悟”→1、2、3；“课后巩固我做主”→1、3、5、8、9、11、14、15. 【基础知识我填充】 1. 2sin_αcos_α. 2 cosα－sinα; 2cosα－1; 1－2sinα. 2tan α3. 21－tanα14. sin2α 21－cos2α1＋cos2α2α2α5. ，，2cos，2sin 2222(sinα±cosα). 【典型例题我剖析】 典例1： 我的基本思路：注意到(22222【基础题型我先练】 【变式思维我迁移】 1.我的基本思路：本题考查倍角公式?4??)?(?4??)??2，则及其应用．(1)利用平方差公式之后，1再逆用倍角公式；(2)提取系数－后2产生倍角公式的形式；(3)需提取系数sin(???)?cos(??)，逆用二倍角的正弦公式可将已知条件化简，进44?而求出tan2?的值，再由倍角公式求tan4?的值。 ruize
??)]?cos(??)，则已知条. 34244π??11?1件可化为sin(??)cos(??)?，即sin2(??)?，则我的解题过程：(1)(cos －sin 12446246?11?sin(?2?)?，即cos2??，因为??(,?)，所以2??(?,2?)，π)(cos π＋sin π)＝cos2π－121212122332我的解题过程：sin(???)?sin[??(??2从而sin2???1?cos2???222， 3sin2ππ3＝cos ＝. 1262则tan4??2tan2???42??42. 71?tan22?1?(?22)2我的感悟点评：本题也可以用两角和与差的正弦公式将等式左边展开，得 112π2π(2)－cos＝－(2cos－1)＝28281π2－cos ＝－. 244242?11122sin?)2?(cossin?)2?，即(cos2??sin2?)?，从而得(3)－3＋3cos15°＝3(2cos15°－44626123cos2??. 1)＝cos 30°＝. 333(sin?典例2： 我的基本思路：已知一个角(π－x)的三角函数值，求三角函数值的问4我的感悟点评：根据三角函数式的特征，经过适当变形，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征． 2.我的基本思路：解本题关键在于使被开方式变为完全平方式，以便脱掉根号，由于原式为算术根，因而去根号时，要注意符号的选取． 我的解题过程：原式＝sin－＝2π题．可以将所求式子化简，使其出现(－x)这个角的三角函数． 4sin 2x－2sinx2sin xcos x－sin x我的解题过程：＝1＋tan xcos x＋sin x＝sin 2xcos x－sin x cos x＋sin x2cos x 1－tan xπ＝sin 2x＝sin 2xtan(－x) 1＋tan x4＝cos(ππ－2x)tan(－x) 24π2π＝[2cos(－x)－1]tan(－x)， 445π7π3ππ∵＜x＜，∴－＜－x＜－π. 4424π4又∵cos(－x)＝－， 45∴sin(π3π3－x)＝，tan(－x)＝－. 4544θθθ2θ＋cos＋2sincos 22222sinθθθ2θ＋cos－2sincos 2222θθ＋cos22216321∴原式＝(2×－1)×(－)＝－. 254100sin－ruize
我的感悟点评：本题采用的“凑角法”是解三角函数题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式． θθsin－cos22＝|sin|. (1)当θ∈(0，2 θθθθ＋cos|－|sin－cos2222πθ]时，∈(0，22πθθ]，cos ≥sin ，此时原式＝422sin θθθθ＋cos －cos ＋sin 2222θ. 2πθπ，π)时，∈(，224＝2sin (2)当θ∈(πθθ)，cos ＜sin ，此时原式＝222θθθθsin ＋cos －sin ＋cos ＝2222θ2cos . 2我的感悟点评：化简三角函数式要根据函数式的结构特点来确定方法，一般情况下，无理式应化为有理式，分式应化为整式，能求出具体值时，一定要求出数值来，本题就是依据θ的范围进行分类讨论来去掉绝对值符号的． 【易错问题我纠错】 错解剖析：错解忽视了已知条件“11tan??,tan??,?,?37【方法技巧我归纳】 1. 二倍角是在两角和与差公式基础上学习的，公式之间的联系按照如下过程：C(???)?C(???)?S(???)?S2?,T2?掌握公式的推导，并通过例题、习题的学习和T???中，T2?分别是由S???，C???，训练，掌握公式的运用。公式S2?，C2?，当???时得出的。公式S2?，C2?具有一般性，即角?是任意角；公式T2?也具有一般性，但只有当??均为锐角”对角?,?的取值范围的影响，从而产生了增解. 正解： k????和??k??(k?Z)时才成立，否则不成立。当242ruize
由tan??13?,tan?? 33??k??tan2??2(k?Z)时，显然tan?的值不存在，但tan2?的值是存在的，这时求值可直接利用诱导公式，即13?,?,?73的均为锐角， 得?0???tan2??tan2(k???2)?tan(2k???)?tan??0. ?6， 2. （１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题． ?0????6， ?0?2????tan2???2.又2tan?3?1?tan2?4 tan(2???)?tan2??tan??1.1?tan2??tan?所以，2???＝ ?4. 这两个公式叫做万能公式，不要求记忆，但记住S2α、C2α与tan α之间的关系，会使解题过程更加简捷． 【课后巩固我做主】 A级 1. ★答案★：B B级 ααα8★答案★：C 解析：∵sin ＞0，cos ＜0，∴是第22219∵sin??2?cos(??2?)??cos2???(1?2sin2?)??二象限角， πα∴2kπ＋＜＜2kπ＋π，k∈Z， 22∴4kπ＋π＜α＜4kπ＋2π，k∈Z， 又∵cos α＝cos23，2.★答案★：A 1解析：∵cos α＋sin α＝－＜0， 332∴α∈(π，π)，又(sin α＋cos α)＝1＋2sin 4∴α在第三象限．故选C. 1αcos α＝， 98∴2sin αcos α＝－， 9α91672α－sin＝－＝－＜0， 222525259.★答案★：B 解析：cos 2α＝2cosα－1＝－B. 27，故选25ruize
17∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝， 317∴cos 2α＝cosα－sinα＝，故选A. 9222tan θ10.★答案★：B 解析：由题意得＝－22， 21－tanθ解得tan θ＝－2或tan θ＝2. 23.★答案★：A 解析：∵θ∈(0，π)，且sin 2θ＝24π2sin θcos θ＝－＜0，∴θ∈(，π)，∴cos θ252－sin θ<0. ∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2π2又π＜2θ＜2π，则＜θ＜π，所以有tan θ＝－.22故选B. 11.★答案★：D 解析：因为y＝(sin x＋cos x)－1＝2sin 2＝－xcos x＝sin 2x，所以是最小正周期为π的奇函数．故选D. 12.★答案★：B 解析：因为y＝2cosx＝1＋cos 2x，所以π函数在(，π)上单调递增．故选B. 22π2π13.★答案★：B 解析：f(x)＝cos(＋x)－cos(－x) 442π2π＝cos(＋x)－sin(＋x) 44271－2cos θsin θ＝－.故选A. 54.★答案★：C解析：先化简sin4??cos4?为（sin2??cos2?)2?2sin2?cos2?. 即为1?2(sin?cos?)2.然后用倍角公式：sin??cos??316 ∴sin2?用cos2??可得(sin2?)2?.5252原ππ＝cos 2(＋x)＝cos(＋2x)＝－sin 2x， 42ππ1则f()＝－sin ＝－，故选B. 126214.★答案★：A 解析：y＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)π22＝cosx－sinx＝cos 2x，又图象向左平移个单位得到y4π＝g(x)＝cos 2(x＋)＝－sin 2x，∴y＝g(x)的图象关于4 原点对称．故选A. 7. 解：(1)cos 36°cos 72°＝＝log15.★答案★：－3.解析：原式＝loglog227π3π(sinsin )＝883π3π(cos sin ) 8822sin 36°cos 36°cos 72° 2sin 36°＝2sin 72°cos 72°sin 144°1＝＝. 4sin 36°4sin 36°413π(sin )＝log242 2＝log42(2)＝－3. －3sin16. 解：原式＝cos 50°＋3sin 50°(2)原式＝ sin 50°cos 50°π＋2x2πcos＋x4＝
高中数学：专题3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
