线性代数（经管类）试题答案
课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A为3阶方阵，且|A|?2，则|2A?1|?（ D ） A．-4
B．-1
C．1
D．4
|2A?1|?23|A|?1?8?1?4． 2?12??123???2．设矩阵A=（1，2），B=?，C=则下列矩阵运算中有意义的是（ B ） ?34??456??，????A．ACB
B．ABC
C．BAC
D．CBA
3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A．A＋AT
B．A－AT
C．AAT
D．ATA
(A?AT)T?AT?(AT)T?AT?A??(A?AT)，所以A－AT为反对称矩阵． ?a 4．设2阶矩阵A=??c?b??，则A*=（ A ） ?d??dA．???c??b?? a??
??dB．??b?c?? ?a????dC．??c?b?? ?a???dD．???b??c?? a???33?5．矩阵???10??的逆矩阵是（ C ）
???0?1?A．??33??
??
?0?3?B．??13??
??
?0C．?1??3?1?? 1??
1??1?? D．3???10?????10?10???6．设矩阵A=?0?234?，则A中（ D ）
?0005???A．所有2阶子式都不为零 C．所有3阶子式都不为零
B．所有2阶子式都为零 D．存在一个3阶子式不为零
7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（ A ） A．A的列向量组线性相关 C．A的行向量组线性相关
B．A的列向量组线性无关 D．A的行向量组线性无关
Ax=0有非零解?r(A)?n? A的列向量组线性相关． 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为??(1,0,2)T，??(1,?1,3)T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2，方程组的通解可表为（ C ） A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T C．(1,0,2)T+k (0,1,-1)T
B．(1,0,2)T+k (1,-1,3)T D．(1,0,2)T+k (2,-1,5)T
??(1,0,2)T是Ax=b的特解，????(0,1,?1)T是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解可表为??k(???)?(1,0,2)T+k (0,1,-1)T． ?111???9．矩阵A=?111?的非零特征值为（ B ）
?111???A．4
B．3
C．2
D．1
??1|?E?A|??1?1?1?1??3??3??3111??1?1??1??1?1?(??3)?1??1?1 ?1??1?1?1??1?1?1??1111?(??3)0?0??2(??3)，非零特征值为??3． 00?2?2x1x2?2x1x3?2x1x4的秩为（ C ） 10．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1A．4 B．3 C．2 D．1
?1??1A??1??1?100010001??0??0??1?0??0???0???0100010001??1??0??0?0??0???0???0010001000??1?，秩为2． 0??0??二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
a1b111．若aibi?0,i?1,2,3,则行列式a2b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=__0__． a3b3a3b1行成比例值为零． ?12?T
12．设矩阵A=??34??，则行列式|AA|=__4__．
??
12|AA|?|A||A|?|A|?34TT22?(?2)2?4． ?a11x1?a12x2?a13x3?0?13．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为__0__．
?ax?ax?ax?0322333?311?101?
??
14．设矩阵A=?020?，矩阵B?A?E，则矩阵B的秩r(B)= __2__．
?001????001???B?A?E=?010?，r(B)=2． ?000???15．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为__2__．
16．设向量??(1,2,3)，??(3,2,1)，则向量?，?的内积(?,?)=__10__．
17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)= __3__． 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：
3?1??1?2??A??02?12?，若方程组无解，则a的取值为__0__．
?00a(a?1)a?1???a?0时，r(A)?2，r(A)?3． 19．设3元实二次型f(x1,x2,x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是
22y12?y2?y3．
22?y3秩r?3，正惯性指数k?2，则负惯性指数r?k?3?2?1．规范形是y12?y2． 10??1??20．设矩阵A=?12?a0?为正定矩阵，则a的取值范围是a?1．
?003???11011?1?a?0，?3?12?a0?3(1?a)?0?a?1． ?1?1?0，?2?12?a003
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
12323321．计算3阶行列式249499．
367677123233100203解：249499?200409?0．
367677300607?101???22．设A=?210? ，求A?1．
??32?5????101100????解：?210010? ??32?5001????101??01?2?02?2?100????210? 301???101??01?2?002?100?? ?210? 7?21??200??202?200?52?1??100???????01?2?210? ??0105?11? ??010?002?0027?21??0017?21????????5/21?1/2?????5?11?． ?7/2?11/2????5/21?1/2??， 5?11? 7/2?11/2??A?123．设向量组?1(1,?1,2,1)T，?2(2,?2,4,?2)T，?3(3,0,6,?1)T，?4(0,3,0,?4)T． （1）求向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．
230?30??1?12????3?33???1?20?00?解：(?1,?2,?3,?4)?? ?002460?00??????1?2?1?4??0?4?4?4?????30??12?12
???0?4?4?4???01????000033?????00??0000???
30??12??11??01??0011????0000???0?3??10??00??01??0011????0000???0?3??00?．
11??00??（1）?1,?2,?3是一个极大线性无关组；（2）?4??3?1?0?2??3．
?x5?0?x1?x2 ?24．求齐次线性方程组 ?x1?x2?x3 ?0的基础解系及通解．
? x?x?x?0345?
?11001??11001??11001???????解：A??11?100???00?10?1???00?10?1?
?00111??00111??00010????????x1??x2?x5??1???1??????x?x11001???2?1??0?2?????00101?，?x3??x5， 基础解系为?0?，??1?，通解为
?????00010??x?0?0??0????4?????x5?0??1??x5???k1(?1,1,0,0,0)T?k2(?1,0,?1,0,1)T．
?12??125．设矩阵A=??21??，求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵．
??解：|?E?A|???1?2?2?(??1)2?4??2?2??3?(??1)(??3)，特征值?1??1，??1?2?3．
对于?1??1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：
?E?A????x1??x2??2?2??11???1????????，，基础解系为 ?1??00??1??，单位化为 ?2?2x?x??????2?2?1????11??1??2?； ???1??1????|?1|2?1??1????2?对于?2?3，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：
?E?A????x1?x2?2?2??1?1??1?????????，，基础解系为 ?2??，单位化为 ???1?2200x?x??????2?2?1???11?1??2???2??2??1????1?． |?2|2?????2?1??1????10?22?，则P是正交矩阵，使P?1AP???令P???03??． 1??1????2??2
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