所以a2?b2?4，又因为
17?2?1，解得a2?8,b2?4， 2a2bx2y2所以椭圆的方程为??1． ………………………………5分
84(2)由（1）得F(?2,0)，设直线CD的方程为：x?ty?2，
?x?ty?2,?联立?x2y2消去x得：(t2?2)y2?4ty?4?0，………………………………6分
?1,??4?8??32(t2?1)?0，设C(x1,y1),D(x2,y2)，则
4t?y?y?,1??1t2?2 ………………………………7分 ??y?y??4,11?t2?2??42(t2?1)所以|CD|?1?t2， ………………………………8分 ?t?2t2?22因为CD??AB，所以CD//AB，所以O到直线CD的距离即为点A到直线CD的距离， 点O到直线CD：x?ty?2?0的距离d?2t?12 ，………………………………9分
所以?ACD的面积S?ACD分
令m?t2?1(m?1)，则
142(t2?1)2t2?1????42， ………………………………102222t2?2(t?2)t?1S?ACD?42m1?42?221m2?2m?1m??2m（当且仅当t?0时取等
号）. ………………………11分
所以?ACD的面积取值范围为(0,22]. ………………………………12分
21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
（1）解：当x?0时，f(x)?e?x?1?2.………………………………1分 当x?0时，f(x)?2x?0.………………………………2分
?f(x)的值域为(0,??)．………………………………3分
令f(f(x)?1)?m，
f(x)?1?1，?f(f(x)?1)?2，
?m?2.………………………………4分
又f(x)的单调减区间为(??,0]，增区间为(0,??). 设f(x)?1?t1，f(x)?1?t2，且t1?0，t2?1．
?f(x)?t1?1无解.
从而
f(x?)2?t要1有两个不同的根，应满足
t2?1?2，
?t2?3.………………………………5分
?f(t2)?f(f(x)?1)?23.即m?23．
?m的最小值为23.………………………………6分
(2) y?f(f(x)?1)?m有两个零点x1、x2且x1?x2，设f(x)?t，t?[2,??)，
?e?x?1?t，?x1??ln(t?1).
1t22x2?t，?x2?.
4t2??aln(t?1)??1对t?[2,??)恒成立. ………………………………7分
4?att2?t?2at2'??设h(t)??aln(t?1)??1，h(t)?.……………………………8t?122(t?1)4分
t?[2,??)，?t?t?[2,??)恒成立.
2?当2a?2，即a?1时，h'(t)?0， ?h(t)在[2,??)上单调递增.
?h(t)?h(2)??aln1?1?1?0成立. ……………………………10分
当a?1时，设g(t)?t?t?2a.由g(2)?4?2?2a?2?2a?0.
2??t0?(2,??)，使得g(t0)?0.
且当t?(2,t0)时，g(t)?0，t?(t0,??)时，g(t)?0.
?当t?(2,t0)时，h(t)单调递减，
此时h(t)?h(2)?0不符合题意.
综上，a?1.……………………………12分
22．选修4?4；坐标系与参数方程
本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解法一：（1）由(x?1)2?(y?2)2?(5cos?)2?(5sin?)2?5，
得曲线C的普通方程为(x?1)2?(y?2)2?5，……………………………1分 把x??cos?，y??sin?代入该式化简得曲线C的极坐标方程为：
??2cos??4sin?. ……………………………3分
因为直线l：y?3x是过原点且倾斜角为所以直线l的极坐标方程为：??（2）把?? 把??分
因为?AOB??的直线， 3?3(??R)．……………………………5分
?3代入??2cos??4sin?得??1?23，故|OA|?1?23， 代入??2cos??4sin?得??2?3，故|OB|?2?3，……………………………7
?6?3??6??6, ……………………………8分
1?8?53. ……………………………10分 |OA|?|OB|?sin?264所以?OAB的面积为S?解法二:（1）同解法一；
（2）由（1）及题知可得C的直角坐标方程为(x?1)2?(y?2)2?5， 直线l的直角坐标方程为y?3x，直线m的直角坐标方程为y?22?1?236?3?(x?1)?(y?2)?5,联立?得O(0,0),A(,).
22??y?3x,3x.……………………………6分 3?(x?1)2?(y?2)2?5,3?232?3?联立?得O(0,0),B(,). 322y?x,?3?故|OA|?1?23，|OB|?2?3， ……………………………8分 因为?AOB?S??3??6??6, 所以?OAB的面积为：
1?8?53 . ……………………………10分 |OA|?|OB|?sin?26423．选修4?5：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
??1?x,x?0?1?解法一：（1）因为f(x)?|x?1|，所以f(2x)?f(x?1)?|2x?1|?|x|??1?3x,0?x?，
2?1?x?1,x??2?11???x?0,?0?x?,?x?,由f(2x)?f(x?1)?2得：?或? ……………………………3分 2或?21?x?2????1?3x?2?x?1?2.解得x??1或x??或x?3，所以不等式的解集为：(??,?1][3,??).……………………………5分 （2）a?b?f(3)?2，又a?0，b?0，……………………………6分 所以要证a?1?b?1?22成立，
只需证(a?1?b?1)2?(22)2成立， ……………………………7分 即证a?b?2?2(a?1)(b?1)?8，
只需证(a?1)(b?1)?2成立， ……………………………8分 因为a?0，b?0，所以根据基本不等式
(a?1)(b?1)?(a?1)?(b?1)?2成立，
2故命题得证． ……………………………10分 解法二：（1）因为f(x)?|x?1|，
??1?x,x?0,?1?所以f(2x)?f(x?1)?|2x?1|?|x|??1?3x,0?x?, ……………………………2分
2?1?x?1,x?.?2?作出函数g(x)?f(2x)?f(x?1)的图像（如下图）
Ay2BOx
因为直线y?2和函数g(x)图像的交点坐标为A(?1,2), B(3,2). ……………………………4分 所以不等式的解集为：(??,?1][3,??)．……………………………5分 （2）a?b?f(3)?2，……………………………6分 又a?0，b?0， 所以2?a?1?a?3b?3，2?b?1?， ……………………………8分 22a?3b?3??4，……………………………9分 22故2?a?1?2?b?1?所以a?1?b?1?22成立．……………………………10分
福建省宁德市2024届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学理试题
