2015 年中考数学复习计划
9. 二次函数
(1).定义:一般地,如果 y
ax 2 bx c(a, b,c 是常数, a
0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数。
(2).抛物线的三要素: 开口方向、对称轴、顶点。
① a 的符号决定抛物线的开口方向:当
a 0 时,开口向上;当 a 0 时,开口向下;
0 。
a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。
② 平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x h .特别地, y 轴记作直线 x
(3).几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴 x
0( y 轴) 0( y 轴)
顶点坐标 (0,0) (0, k )
y ax 2 y
ax 2 k
当 a 0 时
x
y
a x
h 2
开口向上 当 a 0时
x
h
(h ,0)
y
a x h 2
k
x
h
( h ,k )
2
开口向下
2
y
ax
bx c
x
b 2a
(
b 4ac b
,
)
2a
4a
(4).求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
①公式法: y
ax
bx c
a x
b
2
4ac
4a
b 2
,∴顶点是(
b 2a
,
4ac b 2
),对称轴是
2a
4a
直线 x
b 。 2a
②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y
a x h 2
k 的形式,得到顶点为
( h , k ),对称轴是直线 x h 。
③运用抛物线的对称性: 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形, 对称轴与抛物线的交点
是顶点。
若已知抛物线上两点 (x1, y)、(x2 , y)(及 y 值相同),则对称轴方程可以表示为:
x
x1 x2
2
( 5) .抛物线 y ax2
bx c 中, a, b, c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小,这与
y ax2 中的 a 完全一样。
② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 y ax 2
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bx c 的对称轴是直线。
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x
b
,故: ① b
0 时,对称轴为 y 轴; ②
b
0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴
2a
左侧; ③ 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧。
a
③ c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置。
b
a
当 x 0时, y c ,∴抛物线 y
ax 2
bx c 与 y 轴有且只有一个交点( 0, c ):
① c 0 ,抛物线经过原点 ; ② c
0 ,与 y 轴交于正半轴; ③ c
0 ,与 y 轴交于负半轴 .
b a
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则
0。
( 6) .用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式: y ②顶点式: y
ax 2 a x
bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式 . h 2 k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。
③交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ,通常选用交点式: y (7).直线与抛物线的交点
① y 轴与抛物线 y 二次函数 y ax 2
ax 2 bx c
ax2
a x x1 x x2
。
bx
c 得交点为 (0, c )。
②抛物线与 x 轴的交点。
bx
c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二次方程
0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定:
a 有两个交点 (
0 ) 抛物线与 x 轴相交;
b 有一个交点(顶点在 x 轴上) ( 0 ) 抛物线与 x 轴相切; c 没有交点 ( 抛物线与 x 轴相离。 0 ) ③平行于 轴的直线与抛物线的交点
设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax 2 ④一次函数 y kx
x
同②一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,
bx
c k 的两个实数根。
ax 2 bx c a
n k 0 的图像 l 与二次函数 y n
0 的图像 G 的交点,由
方程组
y y
kx
的解的数目来确定:
ax2 bx c
a 方程组有两组不同的解时 b 方程组只有一组解时 c 方程组无解时
l 与 G 有两个交点; l 与 G 只有一个交点;
l 与 G 没有交点。
2⑤ 抛 物 线 与 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 : 若 抛 物 线 y ax bx c 与 x 轴 两 交 点为
A x ,, B x , ,则
AB x1 x2 2 0 1 0
10. 统计初步
x
(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做 总体,其中每一个考察对象叫做 个体.从总体中抽取
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的一部份个体叫做 体的一个
本, 本中个体的数目叫做 本容量. ② 在一 数据中,出
次数最多的数 (有 不止一个 ),叫做 数据的 众数 . ③将一 数据按大小 序排列,把 在
最中 的一个数 (或两个数的平均数 )叫做 数据的 中位数.
(2)公式: 有 n 个数 x1,x2,? ,xn,那么:
①平均数 : x =
x1 + x2 + ......+ xn ;
n
②极差:用一 数据的最大 减去最小 所得的差来反映 数据的 化范 ,用 种方法
得到的差称 极差,即:极差
③方差:数据 x1、 x2 ?? , xn 的方差 s2
s =
2
=最大 -最小 ;
,
x
2
1 轾 n 臌
犏(x 1 -
2
x
) ( 2 -
+
x ) + ..... + ( x n -
2 x )
④ 准差:方差的算 平方根。
数据 x1、 x2 ?? ,
xn 的 准差 s, 1 轾 2
犏
x 1 - x ) + n 臌
(
2
2
2
s =
( x
-
x )
+ ..... +
(x n -
x
)
一 数据的方差越大, 数据的波 越大,越不 定。 11. (1) 率
率 =
频数
率与概率
,各小 的 数之和等于 数,各小 的 率之和等于 1, 率分布直方 中各
总数
个小 方形的面 各 率。 ( 2)概率
①如果用 P 表示一个事件 A 生的概率, 0≤P(A )≤1;
P(必然事件) =1; P(不可能事件) =0;②在具体情境中了解概率的意 ,运用列 法(包括列表、画 状 ) 算 事件 生的
概率。
③大量的重复 率可 事件 生概率的估 ; 12. 角三角形
① ∠ A是 △ABC 的任一 角, ∠A的正弦: sinA=
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,∠A的余弦: cosA= ,
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∠A的正切: tanA=
.并且 sin2A+cos2A=1。
0<sinA< 1, 0< cosA<1,tanA>0.∠A越大, ∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小。
②余角公式 :sin(90o- A)=cosA,cos(90o- A)= sinA。
③特殊角的三角函数值: sin30o= cos60o= , sin45o=cos45o= ,sin60o=cos30o= ,
tan30o= ,tan45o=1, tan60o= 。 ④
i = 铅垂高度 α
斜坡的坡度:
水平宽度 = .设坡角为
,则 i =tan
=α
。h
α
13. 正(余)弦定理
l
(1)正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;注:其中 R 表示三角形的外接圆半径。
( )余弦定理正弦定理的变形公式: 2 =a2+c2 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC-2accosB;a2=b2+c2-2bccosA;c2=a2 ; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c+b2
-2abcosC;
2 b
注: ∠ C所对的边为 c, ∠ B 所对的边为 b, ∠ A 所对的边为 a
14. 三角函数公式 (1) 两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
(2) 倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
(3) 半角公式
sin(A/2)= √-((1cosA)/2) sin(A/2)=- √ ((1-cosA)/2) cos(A/2)= √ ((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√ ((1+cosA)/2)
tan(A/2)= √-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=- √ ((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)= √ ((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=- √ ((1+cosA)/((1-cosA))
(4) 和差化积
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
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ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
(5) 积化和差
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
15. 平面直角坐标系中的有关知识 (1)对称性: 若直角坐标系内一点
P(a,b),则 P 关于 x 轴对称的点为 P1(a,-b), P 关于
y 轴对称的点为 P2 (-a,b),关于原点对称的点为 P3( -a,- b)。
(2)坐标平移: 若直角坐标系内一点 P( a, b)向左平移 h 个单位,坐标变为 P(a-h,b),
向右平移 h 个单位,坐标变为 P(a+h,b);向上平移 h 个单位,坐标变为
P( a, b+h),向
下平移 h 个单位,坐标变为 P(a,b-h).如:点 A (2,- 1)向上平移 2 个单位,再向右平
移 5 个单位,则坐标变为 A ( 7, 1)。
16. 多边形内角和公式
多边形内角和公式: n边形的内角和等于 (n-2)180o(n≥3,n是正整数),外角和等于 360o 17. 平行线段成比例定理
(1)平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
如图: a∥b∥c,直线 l 1 与 l2 分别与直线 a、b、 c 相交与点 A、B、 C 和 D、 E、 F, 则有 AB
BC
DE , AB EF AC
DE , BC DF AC
EF 。 DF
(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)
,所得的对应线段成比例。
如 图 : △ ABC 中 , DE ∥ BC , DE 与 AB 、 AC
AD
相 交 与 点 D 、 E , 则 有 :
AE EC
,
l 1
AD AB
l 2
D
AE DE DB
,
EC AC
DB AC BC AB
A
E
A
E
D
A
a
B
E F
b
D
C
c
B
C
B
C
18. 直角三角形中的射影定理
C
直角三角形中的射影定理: 如图: Rt△ ABC 中, ∠ACB=90o,CD⊥AB 于 D,
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