2015 年中考数学复习计划
9． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果 y
ax 2 bx c(a, b,c 是常数， a
0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。
（2）.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点。
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当
a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下；
0 。
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
② 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地， y 轴记作直线 x
（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴 x
0（ y 轴） 0（ y 轴）
顶点坐标 （0,0） (0, k )
y ax 2 y
ax 2 k
当 a 0 时
x
y
a x
h 2
开口向上 当 a 0时
x
h
(h ,0)
y
a x h 2
k
x
h
( h ,k )
2
开口向下
2
y
ax
bx c
x
b 2a
(
b 4ac b
，
)
2a
4a
（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
①公式法： y
ax
bx c
a x
b
2
4ac
4a
b 2
，∴顶点是（
b 2a
，
4ac b 2
），对称轴是
2a
4a
直线 x
b 。 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y
a x h 2
k 的形式，得到顶点为
( h , k )，对称轴是直线 x h 。
③运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 对称轴与抛物线的交点
是顶点。
若已知抛物线上两点 (x1, y)、(x2 , y)（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为：
x
x1 x2
2
（ 5） .抛物线 y ax2
bx c 中， a, b, c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小，这与
y ax2 中的 a 完全一样。
② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 y ax 2
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bx c 的对称轴是直线。
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x
b
，故： ① b
0 时，对称轴为 y 轴； ②
b
0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴
2a
左侧； ③ 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧。
a
③ c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置。
b
a
当 x 0时， y c ，∴抛物线 y
ax 2
bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：
① c 0 ，抛物线经过原点 ; ② c
0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c
0 ,与 y 轴交于负半轴 .
b a
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则
0。
（ 6） .用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式： y ②顶点式： y
ax 2 a x
bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 . h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ，通常选用交点式： y （7）.直线与抛物线的交点
① y 轴与抛物线 y 二次函数 y ax 2
ax 2 bx c
ax2
a x x1 x x2
。
bx
c 得交点为 (0, c )。
②抛物线与 x 轴的交点。
bx
c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ，是对应一元二次方程
0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a 有两个交点 (
0 ) 抛物线与 x 轴相交；
b 有一个交点（顶点在 x 轴上） ( 0 ) 抛物线与 x 轴相切； c 没有交点 ( 抛物线与 x 轴相离。 0 ) ③平行于 轴的直线与抛物线的交点
设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 ④一次函数 y kx
x
同②一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，
bx
c k 的两个实数根。
ax 2 bx c a
n k 0 的图像 l 与二次函数 y n
0 的图像 G 的交点，由
方程组
y y
kx
的解的数目来确定：
ax2 bx c
a 方程组有两组不同的解时 b 方程组只有一组解时 c 方程组无解时
l 与 G 有两个交点； l 与 G 只有一个交点；
l 与 G 没有交点。
2⑤ 抛 物 线 与 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线 y ax bx c 与 x 轴 两 交 点为
A x ，， B x ， ，则
AB x1 x2 2 0 1 0
10． 统计初步
x
（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做 总体，其中每一个考察对象叫做 个体．从总体中抽取
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的一部份个体叫做 体的一个
本， 本中个体的数目叫做 本容量． ② 在一 数据中，出
次数最多的数 (有 不止一个 )，叫做 数据的 众数 ． ③将一 数据按大小 序排列，把 在
最中 的一个数 (或两个数的平均数 )叫做 数据的 中位数．
（2）公式： 有 n 个数 x1，x2，? ，xn，那么：
①平均数 ： x =
x1 + x2 + ......+ xn ；
n
②极差：用一 数据的最大 减去最小 所得的差来反映 数据的 化范 ，用 种方法
得到的差称 极差，即：极差
③方差：数据 x1、 x2 ?? , xn 的方差 s2
s =
2
=最大 -最小 ；
，
x
2
1 轾 n 臌
犏(x 1 -
2
x
) ( 2 -
+
x ) + ..... + ( x n -
2 x )
④ 准差：方差的算 平方根。
数据 x1、 x2 ?? ,
xn 的 准差 s， 1 轾 2
犏
x 1 - x ) + n 臌
(
2
2
2
s =
( x
-
x )
+ ..... +
(x n -
x
)
一 数据的方差越大， 数据的波 越大，越不 定。 11． （1） 率
率 =
频数
率与概率
，各小 的 数之和等于 数，各小 的 率之和等于 1， 率分布直方 中各
总数
个小 方形的面 各 率。 （ 2）概率
①如果用 P 表示一个事件 A 生的概率， 0≤P（A ）≤1；
P（必然事件） =1； P（不可能事件） =0；②在具体情境中了解概率的意 ，运用列 法（包括列表、画 状 ） 算 事件 生的
概率。
③大量的重复 率可 事件 生概率的估 ； 12． 角三角形
① ∠ A是 △ABC 的任一 角， ∠A的正弦： sinA＝
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，∠A的余弦： cosA＝ ，
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∠A的正切： tanA＝
．并且 sin2A＋cos2A＝1。
0＜sinA＜ 1， 0＜ cosA＜1，tanA＞0．∠A越大， ∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。
②余角公式 ：sin(90o－ A)＝cosA，cos(90o－ A)＝ sinA。
③特殊角的三角函数值： sin30o＝ cos60o＝ ， sin45o＝cos45o＝ ，sin60o＝cos30o＝ ，
tan30o＝ ，tan45o＝1， tan60o＝ 。 ④
i ＝ 铅垂高度 α
斜坡的坡度：
水平宽度 ＝ ．设坡角为
，则 i ＝tan
＝α
。h
α
13． 正（余）弦定理
l
（1）正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。
（ ）余弦定理正弦定理的变形公式： 2 =a2+c2 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2 ； (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c+b2
-2abcosC；
2 b
注： ∠ C所对的边为 c， ∠ B 所对的边为 b， ∠ A 所对的边为 a
14． 三角函数公式 （1） 两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
（2） 倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
（3） 半角公式
sin(A/2)= √-((1cosA)/2) sin(A/2)=- √ ((1-cosA)/2) cos(A/2)= √ ((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√ ((1+cosA)/2)
tan(A/2)= √-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=- √ ((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)= √ ((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=- √ ((1+cosA)/((1-cosA))
（4） 和差化积
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
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ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
（5） 积化和差
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
15． 平面直角坐标系中的有关知识 （1）对称性： 若直角坐标系内一点
P（a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，－b）， P 关于
y 轴对称的点为 P2 （－a，b），关于原点对称的点为 P3（ －a，－ b）。
（2）坐标平移： 若直角坐标系内一点 P（ a， b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（a－h，b），
向右平移 h 个单位，坐标变为 P（a＋h，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为
P（ a， b＋h），向
下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，b－h）.如：点 A （2，－ 1）向上平移 2 个单位，再向右平
移 5 个单位，则坐标变为 A （ 7， 1）。
16． 多边形内角和公式
多边形内角和公式： n边形的内角和等于 (n－2)180o（n≥3，n是正整数），外角和等于 360o 17． 平行线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图： a∥b∥c，直线 l 1 与 l2 分别与直线 a、b、 c 相交与点 A、B、 C 和 D、 E、 F， 则有 AB
BC
DE , AB EF AC
DE , BC DF AC
EF 。 DF
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
，所得的对应线段成比例。
如 图 ： △ ABC 中 ， DE ∥ BC ， DE 与 AB 、 AC
AD
相 交 与 点 D 、 E ， 则 有 ：
AE EC
,
l 1
AD AB
l 2
D
AE DE DB
,
EC AC
DB AC BC AB
A
E
A
E
D
A
a
B
E F
b
D
C
c
B
C
B
C
18． 直角三角形中的射影定理
C
直角三角形中的射影定理： 如图： Rt△ ABC 中， ∠ACB＝90o，CD⊥AB 于 D，
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