a?1???a?1???,,a?上单调递减,在?a,???上单调递增, fx,则??在??上单调递增在?2??2??a?1??a?1?a2?2a?1?且f?,f?a???a, ?????4?2??2?关于x的方程f?x??tf?a?总有三个不相等的实数根,
2a2?2a?1只要?a??ta?对1?a?2恒成立,解得0?t?1；
4(2)当
a?1a?1?a?时,即?1?a?1, 22a?1???a?1a?1??a?1???,,,???上单fx则??在??上单调递减,在??上单调递增,在?2?2??2?2??调递增,
a?1??a?1?a2?2a?1?且f?,?????4?2??2?2a2?2a?1?a?1??a?1?, f??????4?2??2?2关于x的方程f?x??tf?a?总有三个不相等的实数根,
a2?2a?1a2?2a?1只要?对?1?a?1恒成立, ??ta?4411?0?成立,此时t?R 4411a?2?a?2?②当0?a?1时,a??t?a恒成立,此时0?t?1 ?4411a?2?a?2?③当?1?a?0时,a?t??a恒成立,此时0?t?1
44①当a?0时,?综合①②③得0?t?1 由(1)(2)可知0?t?1 故答案为：0?t?1 【点睛】
此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论.
三、解答题
18．已知集合A?xx?4x?12?0,B?x?2a?x?2a?2. (1)若a?1,求AIeRB；
?2?????第 11 页 共 17 页
(2)若A?B???4,6?,求实数a的值. 【答案】(1)x4?x?6；(2)2.
【解析】（1）解出一元二次不等式，根据集合的交并补计算求解； （2）根据并集关系，讨论参数的取值范围. 【详解】
(1)当a?1时,解不等式x2?4x?12?0得：?2?x?6
??B??x?2?x?4?,A??x?2?x?6?,
所以eRB??x|x??2或x?4? 所以A?eRB?x4?x?6 (2)若A?B???4,6?,
????2a??4?a?2,?则?，
?2?2a?2?6?2?a?2??解得a?2. 【点睛】
此题考查集合的交并补基本运算，根据集合的并集求参数的范围，属于简单题目.
rrr19．已知平面向量a??2,4?,b??3,5?,c???2,6?.
(1)若a?xb?yc,求x?y的值；
rrrr(2)若a?kc在a?b上的投影是2,求实数k.
rrr【答案】(1)
rrrrr【解析】（1）根据a?xb?yc，xb?yc??3x?2y,5x?6y?，列方程组求解即可；
rrrra?kc?a?brr（2）根据投影公式2?代入求解即可. a?b11；(2)?2. 14????【详解】
rrrrr(1)因为a??2,4?,b??3,5?,c???2,6?,所以xb?yc??3x?2y,5x?6y?,
5?x??rrr?3x?2y?2?7,解得?, 又a?xb?yc,所以?15x?6y?4??y??14?第 12 页 共 17 页
11； 14rrrr(2)由题意知a?b???1,?1?,a?kc??2?2k,4?6k?,
所以x?y?rrrrrr所以a?b?2,a?kc?a?b???2?2k???4?6k???4k?6,
rrrra?kc?a?b?4k?6rrrr?rr, 因为a?kc在a?b上的投影是2,所以2?2a?b????????解得k??2. 【点睛】
此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题. 20．已知函数f?x??a?2?x1x?R?是偶函数. x?2(1)求a的值；
(2)当x??0,???时,判断函数f?x?的单调性,并证明你的结论. 【答案】(1)1；(2)f?x?单调递增,证明见解析.
【解析】（1）根据偶函数关系结合f??x??f?x?求解；
（2）根据定义法讨论单调性任取0?x1?x2,讨论f?x1??f?x2?的符号. 【详解】
1x?R?是偶函数, x?211?xx所以f??x??f?x?,即a?2??x?a?2?x,
22(1)因为f?x??a?2?x化简得?a?1??2?x??12x???0, ?所以a?1； (2)结论:f?x??2?x1在(0,+∞)单调递增.证明如下： x2任取0?x1?x2,则
1?1f?x1??f?x2??2x1?x1??2x2?x222?
x1x2x1?x2x2x12?22?1????2?2?x1x2??2?2?x1x2?2?22x1?x2?xxx?x因为0?x1?x2,所以21?22?0,212?1?0,所以2x1?x2?1?0
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?2所以
x1?2x2??2x1?x2?1?2x1?x2?0,即f?x1??f?x2?
所以f?x??2?x1在(0,+∞)单调递增. x2【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.
21．已知函数f?x??Asin??x?邻两条对称轴之间的距离为2?.
(1)求函数f?x?的解析式及它的单调递增区间； (2)是否存在实数m,使得不等式f??????A?0,??0?的图象经过点0,3,且图象上相3?????m2?2m?f???m2?1成立?若存在,请求出
?m的取值范围；若不存在,请说明理由.
???5???1?fx?2sinx???4k?,?4k???k?Z?；(2)存【答案】(1)????,?33??3??2在,
1?m?1. 21，即可得到函数解析2【解析】（1）根据函数经过的点求A，根据对称轴求周期得??式，结合正弦函数的单调性求函数的增区间；
??m2?2m?0（2）根据?得0?m?1,所以?m2?2m??0,1?,?m2?1??0,1?，结2??m?1?0合函数的单调性，f?x?在0,1上单调递增,f[]??m2?2m?f???m2?1等价于
???m2?2m????m2?1,即可求解.
?【详解】
(1)因为函数f?x??Asin??x?所以f?0??Asin??????A?0,??0?的图象经过点0,3, 3????3?3,解得A?2
又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2?得T?4?, 又由T?2??,得????1?1,所以f?x??2sin?x??
3?2?2结合函数y?sinx的单调性,
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令??2?2k??5??1??x???2k??k?Z?,解得??4k??x??4k?, 23233所以函数f?x?的单调递增区间是????5???4k?,?4k???k?Z?；
3?3???m2?2m?0(2)由题意知?,所以0?m?1, 2?m?1?0?所以?m2?2m??0,1?,?m2?1??0,1? 由函数f?x?的单调递增区间是????5???4k?,?4k???k?Z?知,
3?3?f?x?在[0,1]上单调递增,
又f??m2?2m?f???m2?1,所以
???m2?2m????m2?1,解得m??1 2结合0?m?1,得【点睛】
1?m?1 2此题考查三角函数的综合应用，根据曲线上的点和对称轴求解析式，讨论单调性，通过单调性比较函数值的大小求解不等式，综合性强. 22．已知函数f?x??1?a?x?a,x??1,???. x?1(1)若a?1,求方程fx=0的解集；
(2)若函数y?f?x?恰有两个不同的零点x1,x2?x1?x2?,求x1?x2的值.
()?3?1?5??1?55?5【答案】(1)?；当a?时,2?5. ?；(2)当a?时,2222????【解析】（1）分类讨论解方程
2?x?x?1即可； x?11?a,h?x??x?a的公共点问题,分类x?1（2）将fx=0转化为讨论函数g?x??讨论求解. 【详解】
(1)当a?1时,f?x??()12?x?1?x?1?0,所以?x?1 x?1x?1第 15 页 共 17 页
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题(解析版)
