圆锥曲线韦达定理
x2y2??1①表示，与直线Ax?By?C?0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程： 如果我们将所有的二次曲线方程用
mn消去y得： A2m?B2nx2?2ACmx?mC2?B2n?0 消去x得： A2m?B2ny2?2BCny?nC2?A2m?0应用韦达定理，可得： ????????mC2?B2n?2ACm2222??4mnBAm?Bn?Cx1?x2?2，x1x2?，??x222 Am?BnAm?BnnC2?A2m?2BCny1?y2?2，y1y2?，?y?4mnA2?A2m?B2n?C2?222 Am?BnAm?Bn（根据x1?x2，x1x2写y1?y2，y1y2的方法：A、B互换；m、n互换；C不变。） 对于等价的一元二次方程?的数值不唯一，且?的意义仅在于其与零的关系,故由4B2?0及4A2?0恒成立，则可取与?同号的???????mn?A2m?B2n?C2?作为?的值。 曲线与直线相交，由?x?0或?y?0均可得???mnA2m?B2n?C2?0 由EF????x1?x2???y1?y2?22?A2??2??1?2??x1?x2??4x1x2???B?? ??xA2?B2??222BAm?Bn22222A2?B24mnB?Am?Bn?C? ?222BAm?Bn即EF??A22?B2??mn?A2m?B2n?C2?Am?Bn22 亦即EF? ?A2?B2????（其中???mn??C2，??A2m?B2n） ??x1?x2??2ACm??2BCn x1x2?m?C?Bn?22???mn???C2? ?n?C2?A2m?EF? 2?A2?B2????y1?y2? ?y1y2? ? （其中??A2m?B2n） 有时，曲线方程需要经过简单变形 曲线方程 方程变形 m a2 n b2 x2y2?2?1 2aby2x2??1 a2b2x2y2??1 a2b2yx??1 22ab 22x2y2??1 b2a2x2y2??1 22a??b?x2y2?2?1 2??b?ab2 a2 a2 ?b2 ?b2 a2 应用举例
x2?y2?1交于A,B两点(A,B不是左右顶点）且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值。 例：已知直线l与椭圆9?Ax?By?C?0?2??xy2??1??mn ?y?kx?m,?kx?y?m?0??解：?x2即?x222?y?1,?y?1,???9?9 AB?1Cm9n1km?Am?Bn?x222?2ACmx?m?C2?B2n??0 （把直线写成kx?y?m?0，以及这个表格，不要省略！） 消y得9k2?1x2?18mkx?9m2?1?0……① ?x?4mnB2?A2m?B2n?C2? 应用韦达定理，可得： ???????18mk??4??9k2?1??9?m2?1??4?9?1?9?k2???1??1?m2?（套公式，能简化运算）?? 22??0，故有m2?9k2?1……① mC2?B2n?2ACmx1?x2?2，x1x2?， 由韦达定理有x1?x2?Am?B2nA2m?B2n???2?9mk9k???1??122，x1x2?9?m2?1?9k???1??122，（根据方程①，套公式） nC2?A2m?2BCn1?m2?9k2y1?y2?2，， yy?12（写y1y2容易犯错，要小心） y1y2?2Am?B2n2A2m?B2n9k???1??1???? ????????因为以AB为直径的圆过点C，所以CA?CB?0， 即?x1?3,y1??x2?3,y2??0，即x1x2?3?x1?x2??9?y1y2?0。 9?m2?1?EF? 2?A2?B??mn?Am?Bn?C2222?9k???1??122?3??2?9mk9k???1??122?9?1??m2?9k2?9k???1??122?0（这一运算简化很多） A2m?B2n化简得36k2?27mk?5m2?0，即?m?3k??5m?12k??0。 所以m??3k（舍去）或m??12k（满足①式）。 5222k2???1??9?1?9k2???1??1?m2?6??AB?1?k2x1?x2???2259k???1??1?1?k??81k22?25?9k?12 S?ABC113k?m6?AB?d????2221?k5?1?k??81k22?25?9k2?1k2?81k2?25?9??259k2?1 令t?19k2?1?0?t?1?，则k2?1?1???1? 9?t?2S?ABC337?6253???16t2?7t?9??16?t???? 252532648??33。综上，三角形ABC的面积最大值为。 88又当k不存在时，S?ABC?编制：高中数学QQ群648051755
圆锥曲线韦达定理题例
