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高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量
一、三角函数部分
1．(集训试题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且
C， A
sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC（B）
bbsinAA．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由logbx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，
因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA， ∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=
11，而sinA>0，∴sinA=. 42因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（C） A．x=π/3 B．x=2π/3 C．x=11π/6 D．x=π
3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 4．（2006年南昌市）若a?sin??tan?,b?cos??cot?,则以下诸式中错误的是( B )
ab?11?ab B．cos?? b?1a?1(a?b)(a?b?2)(a?b?1)2?1?2abC．tan??cot?= D．tan??cot?=
(a?1)(b?1)(a?1)(b?1)A．sin?=
5．（2006安徽初赛）已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，
∠DCE = 45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若sin A．[0,?444213107．（2006年江苏）在△ABC中，tanA?，cosB?．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为 （ D ）
2104535255 A． B． C． D． 5555x?cos2x，f4(x)?sinx2，上述函数中，8．(2005年浙江)设f1(x)?2，f2(x)?sinx?cos2x，f3(x)?sin2
周期函数的个数是（ B ） A．1 B．2 【解】： f1(x)?C．3
D．4
]
??cos3??cos??sin?,0???2?，则角?的取值范围是(C)
??5??3?] D．[,) B．[,?] C．[,4432是以任何正实数为周期的周期函数；f2(x)不是周期函数。 因为sinx是以T1?2?为周期
2?的周期函数, cos2x是以T2?为周期的周期函数, 而T1与T2之比不是有理数，故f2(x)不是周期函数。
2x2?因为sin是以T1?22?为周期的周期函数, cos2x是以T2?为周期的周期函数, f3(x)不是周期函数。
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 T1?2，故f3(x)是周期函数.f4(x)?sinx2不是周期函数.因此共有2个周期函数. ?选 【 B 】 T29．(2005年浙江)若sinx?siny?1，则cosx?cosy的取值范围是 （ ）
而
A．[?2, 2]
B．[?1, 1]
C．[0,3]
D．[?3,3]
【解】：设 cosx?cosy?t， ? cos2x?2cosxcosy?cos2y?t2。又由 sinx?siny?1，故
sin2x?2sinxsiny?sin2y?1。因此有 2(cosxcosy?sinxsiny)?t2?1，即 2cos(x?y)?t2?1
由于?1?cos(x?y)?1，所以有 t2?3，即?3?t?3。 ?选 【 D 】 10． (2005全国)?ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆
ABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为 于A1、B1、C1。则
sinA?sinB?sinCA．2 B．4 C．6 D．8 解：如图，连BA1，
AA1?cos则AA1?2sin(B?A)?2sin(A?B?C?B?C)?2cos(B?C).
222222（ ）
?AA1cosABCAA?B?CA?C?B???2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)22222222
BCA?sinC?sinB,同理BB1cos?sinA?sinC,CC1cos?sinA?sinB,?AA1cos?BB1?222BC2(sinA?sinB?sinC)cos?CC1cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.22sinA?sinB?sinCcos3?1sin3??，则? 7/3 cos?3sin?12（2004年浙江省预赛）设ai?R?(i?1,2,?n),?,?,??R,且??????0， 则对任意x?R，
11（2006陕西赛区预赛）已知?为锐角，且
??111??? n . ???(???)x?x(???)x? x(???)x?x??1?ai?ai1?ai?ai?aii?11?ai??111解： ??(???)x1?ai?x?ai(???)x1?ai? x?ai(???)x1?ai?x?ainai?xai(???)x1??x???1， (???)x(???)x?x? x(???)xai?ai?1ai?1?ai1?ai?ai?111所以，???(???)x?x?1?ai?x?ai(???)x1?ai? x?ai(???)x?ai?11?aii??n???n. ??sin4xcos4x1??，则13（2006年浙江省预赛）设a,b是非零实数，x?R，若
a2b2a2?b21sin2008xcos2008x?? 20062006221003ab(a?b)4sinxco4sx1??，解：已知 ……………… （1） a2b2a2?b2b2a24444将（1）改写成 1?sinx?cosx?2sinx?2cosx.
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 而 1?(sin2x?cos2x)2?sin4x?cos4x?2sin2xcos2x.
b2a24224所以有 2sinx?2sinxcosx?2cosx?0.
ab2sin4xcos4xa?b22??，即?sinx?cosx??0, 也即 将该值记为C。则由（1）知， 44abb?a?11a2C?b2C?2。于是有，. C?a?b2(a2?b2)2sin2008xcos2008x112502250222而. ??aC?bC?(a?b)?20062006221004221003ab(a?b)(a?b)14（200 6天津）在Rt?ABC中，c，r，S分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则
cr的取值范围是 S[22?2,1) ．
15（200 6天津）已知A(2cos?,3sin?)，B(2cos?,3sin?)，C(?1,0)是平面上三个不同的点，且满足关系式
CA??BC，则实数?的取值范围是 16（2006年江苏）设cos2??172006吉林预赛）若sin2(x?1???3 ． 31211244，则cos??sin?的值是 ．
183?3???12，且，则tanx的值为__________.
)?sin(x?12)??4x?(,)24862?,(＜?＜?),则tan??cot?=_?____.
235219．（2006年上海）设n(n?2)是给定的整数，x1,x2,?,xn是实数，则sinx1cosx2?sinx2cosx3???sinxncosx1n的最大值是 ．
220．（2004 全国）在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正周期长的区间上的图
18（2006年南昌市）已知sin??cos?=
像与函数g(x)?a2?1的图像所围成的封闭图形的面积是________________.
2?1，它的最小正周期为，振幅为a2?1。由f(x)的图像与
aa2?g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为a2?1的长方形，故它的面积是
a2?a2?1。 a21．(2005全国)设?、?、?满足0???????2?，若对于任意
x?R,cos(x??)?cos(x??)?
4?cos(x??)?0,则????.
解：f(x)?a2?1sin(ax??),其中??arctan3解：设f(x)?cos(x??)?cos(x??)?cos(x??),由x?R，f(x)?0知， f(??)?0,f(??)?0,f(??)?0,即cos(???)?cos(???)??1,cos(???)? cos(???)??1，cos(???)?cos(???)??1. ?cos(???)?cos(???)?cos(???)?
?0???????2?,????,???,????{2?4?,},33又
???????,???????. 只有????????2?4?.?????. 33选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2?2?4?,有????,????,?x?R,记x????， 3334?2?2?4?))构成 ),sin(??)),(cos(??),sin(??由于三点(cos?,sin?),(cos(??3333单位圆x2?y2?1上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有
2?4?cos??cos(??)?cos(??)?0.
另一方面，当???????? 即cos(x??)?cos(x??)?cos(x??)?0. 二、向量部分
1．(集训试题)已知a=(cos
则△OAB的面积等于 A．1
B．
3322π, sinπ), OA?a?b, OB?a?b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，33
（ ） D．
1 C．2 2??(a?b)(a?b)?0解：设向量b=(x, y)，则?，
??|a?b|?|a?b|3 2?1313)?(?x?,?y??0?(x?,y??2222即?，
12321232?(x?)?(y?)?(x?)?(y?)?2222?22?13131?x?y?1,)或(?,)，∴S△AOB=|a?b||a?b|=1。 即?. ∴b?(22222??x?3y?????????????2．（2004全国）设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC 的面积的比为
（ ）
A．2
B．
3 2C．3 D．
5 3A????????????OA?OC?2OD(1)则??? ??????????2(OB?OC)?4OE(2)?????????????????????由（1）（2）得，OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0， ????????即OD与OE共线，
????????SS33?2且|OD|?2|OE|??AEC?,??ABC??3， 故选C。
S?AOC2S?AOC2????2????1????3．（2006陕西赛区预赛）如图1，设P为△ABC内一点，且AP?AB?AC，
55DOBEC解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( A )
12 B． 5511 C． D．
434．(2005年浙江)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|?13，c?a?3，c?b?4.
A．
则对于任意实数t1,t2，|c?t1a?t2b|的最小值是 （ ） A．5 B．7 C．12 D．13
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 【解】：由条件可得 c?t1a?t2b2222?c?6t1?8t2?t1?t2
2 ?169?(t1?3)2?(t2?4)2?25?144?(t1?3)2?(t2?4)2?144 当t1?3,t2?4时，c?t1a?t2b?144。 ?选 【 C 】
5．(2005全国)空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值
（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
?2解：注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则DA2?DA=
2222(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?
2
BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0,?AC?BD只有一个值得0，故选A。
6．（2006吉林预赛）已知P为△ABC内一点，且满足3PA?4PB?5PC?0，那么S△PAB：S△PBC：S△PCA = . 7．（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为A?1,0?,重心G对应的向量为G?2,0?,则三角形另二
个顶点B、C对应的向量为_____??53?,??_________. ?22?2的圆周28．（2006年浙江省预赛）手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为
上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作titi?1，则t1t2?t2t3?t2t3?t3t4???t12t1?t1t2＝ 63?9 . 解：连接相邻刻度的线段构成半径为
2的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为3022?2?3?2?2?3??cos??22?33. 共有2度。各边向量的长为2?. 则t1t2?t2t3??sin ?2?4?6212424??12个相等项. 所以求得数量积之和为 63?9.
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