选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量
一、三角函数部分
1.(集训试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
C, A
sinB都是方程logx=log(4x-4)的根,则△ABC(B)
bbsinAA.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 解:由logbx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,
因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA, ∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A=
11,而sinA>0,∴sinA=. 42因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
2.(2006吉林预赛)已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称,则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是(C) A.x=π/3 B.x=2π/3 C.x=11π/6 D.x=π
3.2006年南昌市)若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4.(2006年南昌市)若a?sin??tan?,b?cos??cot?,则以下诸式中错误的是( B )
ab?11?ab B.cos?? b?1a?1(a?b)(a?b?2)(a?b?1)2?1?2abC.tan??cot?= D.tan??cot?=
(a?1)(b?1)(a?1)(b?1)A.sin?=
5.(2006安徽初赛)已知△ABC为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E为AB边上的两个点,且点D在AE之间,
∠DCE = 45°,则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是 ( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 6.(2006陕西赛区预赛)若sin A.[0,?444213107.(2006年江苏)在△ABC中,tanA?,cosB?.若△ABC的最长边为1,则最短边的长为 ( D )
2104535255 A. B. C. D. 5555x?cos2x,f4(x)?sinx2,上述函数中,8.(2005年浙江)设f1(x)?2,f2(x)?sinx?cos2x,f3(x)?sin2
周期函数的个数是( B ) A.1 B.2 【解】: f1(x)?C.3
D.4
]
??cos3??cos??sin?,0???2?,则角?的取值范围是(C)
??5??3?] D.[,) B.[,?] C.[,4432是以任何正实数为周期的周期函数;f2(x)不是周期函数。 因为sinx是以T1?2?为周期
2?的周期函数, cos2x是以T2?为周期的周期函数, 而T1与T2之比不是有理数,故f2(x)不是周期函数。
2x2?因为sin是以T1?22?为周期的周期函数, cos2x是以T2?为周期的周期函数, f3(x)不是周期函数。
22选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 T1?2,故f3(x)是周期函数.f4(x)?sinx2不是周期函数.因此共有2个周期函数. ?选 【 B 】 T29.(2005年浙江)若sinx?siny?1,则cosx?cosy的取值范围是 ( )
而
A.[?2, 2]
B.[?1, 1]
C.[0,3]
D.[?3,3]
【解】:设 cosx?cosy?t, ? cos2x?2cosxcosy?cos2y?t2。又由 sinx?siny?1,故
sin2x?2sinxsiny?sin2y?1。因此有 2(cosxcosy?sinxsiny)?t2?1,即 2cos(x?y)?t2?1
由于?1?cos(x?y)?1,所以有 t2?3,即?3?t?3。 ?选 【 D 】 10. (2005全国)?ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆
ABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为 于A1、B1、C1。则
sinA?sinB?sinCA.2 B.4 C.6 D.8 解:如图,连BA1,
AA1?cos则AA1?2sin(B?A)?2sin(A?B?C?B?C)?2cos(B?C).
222222( )
?AA1cosABCAA?B?CA?C?B???2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)22222222
BCA?sinC?sinB,同理BB1cos?sinA?sinC,CC1cos?sinA?sinB,?AA1cos?BB1?222BC2(sinA?sinB?sinC)cos?CC1cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.22sinA?sinB?sinCcos3?1sin3??,则? 7/3 cos?3sin?12(2004年浙江省预赛)设ai?R?(i?1,2,?n),?,?,??R,且??????0, 则对任意x?R,
11(2006陕西赛区预赛)已知?为锐角,且
??111??? n . ???(???)x?x(???)x? x(???)x?x??1?ai?ai1?ai?ai?aii?11?ai??111解: ??(???)x1?ai?x?ai(???)x1?ai? x?ai(???)x1?ai?x?ainai?xai(???)x1??x???1, (???)x(???)x?x? x(???)xai?ai?1ai?1?ai1?ai?ai?111所以,???(???)x?x?1?ai?x?ai(???)x1?ai? x?ai(???)x?ai?11?aii??n???n. ??sin4xcos4x1??,则13(2006年浙江省预赛)设a,b是非零实数,x?R,若
a2b2a2?b21sin2008xcos2008x?? 20062006221003ab(a?b)4sinxco4sx1??,解:已知 ……………… (1) a2b2a2?b2b2a24444将(1)改写成 1?sinx?cosx?2sinx?2cosx.
ab选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 而 1?(sin2x?cos2x)2?sin4x?cos4x?2sin2xcos2x.
b2a24224所以有 2sinx?2sinxcosx?2cosx?0.
ab2sin4xcos4xa?b22??,即?sinx?cosx??0, 也即 将该值记为C。则由(1)知, 44abb?a?11a2C?b2C?2。于是有,. C?a?b2(a2?b2)2sin2008xcos2008x112502250222而. ??aC?bC?(a?b)?20062006221004221003ab(a?b)(a?b)14(200 6天津)在Rt?ABC中,c,r,S分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则
cr的取值范围是 S[22?2,1) .
15(200 6天津)已知A(2cos?,3sin?),B(2cos?,3sin?),C(?1,0)是平面上三个不同的点,且满足关系式
CA??BC,则实数?的取值范围是 16(2006年江苏)设cos2??172006吉林预赛)若sin2(x?1???3 . 31211244,则cos??sin?的值是 .
183?3???12,且,则tanx的值为__________.
)?sin(x?12)??4x?(,)24862?,(<?<?),则tan??cot?=_?____.
235219.(2006年上海)设n(n?2)是给定的整数,x1,x2,?,xn是实数,则sinx1cosx2?sinx2cosx3???sinxncosx1n的最大值是 .
220.(2004 全国)在平面直角坐标系xoy中,函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正周期长的区间上的图
18(2006年南昌市)已知sin??cos?=
像与函数g(x)?a2?1的图像所围成的封闭图形的面积是________________.
2?1,它的最小正周期为,振幅为a2?1。由f(x)的图像与
aa2?g(x)的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为、宽为a2?1的长方形,故它的面积是
a2?a2?1。 a21.(2005全国)设?、?、?满足0???????2?,若对于任意
x?R,cos(x??)?cos(x??)?
4?cos(x??)?0,则????.
解:f(x)?a2?1sin(ax??),其中??arctan3解:设f(x)?cos(x??)?cos(x??)?cos(x??),由x?R,f(x)?0知, f(??)?0,f(??)?0,f(??)?0,即cos(???)?cos(???)??1,cos(???)? cos(???)??1,cos(???)?cos(???)??1. ?cos(???)?cos(???)?cos(???)?
?0???????2?,????,???,????{2?4?,},33又
???????,???????. 只有????????2?4?.?????. 33选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2?2?4?,有????,????,?x?R,记x????, 3334?2?2?4?))构成 ),sin(??)),(cos(??),sin(??由于三点(cos?,sin?),(cos(??3333单位圆x2?y2?1上正三角形的三个顶点.其中心位于原点,显然有
2?4?cos??cos(??)?cos(??)?0.
另一方面,当???????? 即cos(x??)?cos(x??)?cos(x??)?0. 二、向量部分
1.(集训试题)已知a=(cos
则△OAB的面积等于 A.1
B.
3322π, sinπ), OA?a?b, OB?a?b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,33
( ) D.
1 C.2 2??(a?b)(a?b)?0解:设向量b=(x, y),则?,
??|a?b|?|a?b|3 2?1313)?(?x?,?y??0?(x?,y??2222即?,
12321232?(x?)?(y?)?(x?)?(y?)?2222?22?13131?x?y?1,)或(?,),∴S△AOB=|a?b||a?b|=1。 即?. ∴b?(22222??x?3y?????????????2.(2004全国)设O点在?ABC内部,且有OA?2OB?3OC?0,则?ABC的面积与?AOC 的面积的比为
( )
A.2
B.
3 2C.3 D.
5 3A????????????OA?OC?2OD(1)则??? ??????????2(OB?OC)?4OE(2)?????????????????????由(1)(2)得,OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0, ????????即OD与OE共线,
????????SS33?2且|OD|?2|OE|??AEC?,??ABC??3, 故选C。
S?AOC2S?AOC2????2????1????3.(2006陕西赛区预赛)如图1,设P为△ABC内一点,且AP?AB?AC,
55DOBEC解:如图,设D,E分别是AC,BC边的中点,
则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( A )
12 B. 5511 C. D.
434.(2005年浙江)已知a,b是两个相互垂直的单位向量,而|c|?13,c?a?3,c?b?4.
A.
则对于任意实数t1,t2,|c?t1a?t2b|的最小值是 ( ) A.5 B.7 C.12 D.13
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 【解】:由条件可得 c?t1a?t2b2222?c?6t1?8t2?t1?t2
2 ?169?(t1?3)2?(t2?4)2?25?144?(t1?3)2?(t2?4)2?144 当t1?3,t2?4时,c?t1a?t2b?144。 ?选 【 C 】
5.(2005全国)空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值
( )
A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个
?2解:注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则DA2?DA=
2222(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?
2
BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0,?AC?BD只有一个值得0,故选A。
6.(2006吉林预赛)已知P为△ABC内一点,且满足3PA?4PB?5PC?0,那么S△PAB:S△PBC:S△PCA = . 7.(2006年南昌市)等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为A?1,0?,重心G对应的向量为G?2,0?,则三角形另二
个顶点B、C对应的向量为_____??53?,??_________. ?22?2的圆周28.(2006年浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为
上。从整点i到整点(i+1)的向量记作titi?1,则t1t2?t2t3?t2t3?t3t4???t12t1?t1t2= 63?9 . 解:连接相邻刻度的线段构成半径为
2的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角,为3022?2?3?2?2?3??cos??22?33. 共有2度。各边向量的长为2?. 则t1t2?t2t3??sin ?2?4?6212424??12个相等项. 所以求得数量积之和为 63?9.
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量 - 图文
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)