专题跟踪训练(十五) 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
π?3??π?1．(2018·广东七校联考)已知sin?α＋?＋cosα＝－，则cos?－α?＝( ) 6?3??6?222211
A．－ B. C．－ D. 3333
π?33133?[解析] 由sin?α＋?＋cosα＝－，得sinα＋cosα＋cosα＝－，即
6?32232?33
sinα＋cosα＝－，
23
π?3?亦即3sin?α＋?＝－，
3?3?π?1?∴sin?α＋?＝－， 3?3?
?π?π?π?∴cos?－α?＝sin?－?－α?6??2?6
1＝－，故选C. 3[答案] C ??＝sin?α＋π? ???3??????π?1??π??2．(2018·贵阳监测)已知sin?－α?＝，则cos?2?＋α??的值是( ) ?6?3??3??
7117A. B. C．－ D．－ 9339?π?1?π???π???2?π
[解析] ∵sin?－α?＝，∴cos?－2α?＝cos?2?－α??＝1－2sin?－α?＝
?6?3?3???6???6?
7??π???2π＋2α?＝cos?π－?π－2α??＝－cos?π－2α?＝－7.
，∴cos?2?＋α??＝cos????3???3?99??3???3???????
[答案] D 3．(2018·湖北武汉模拟)在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝A.
ππ3ππ3π
B. C. D.或 64444
π
2×sin3
3
2π，所以A＝24
π
，则A等于( ) 3
abasinB[解析] 由正弦定理得＝，所以sinA＝＝
sinAsinBb3ππ
或.又a [答案] B ＝ 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为( ) A. ππππ B. C. D. 2346 [解析] 由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinBcosC＝3sinCcosB，sin2CcosC＝3sinCcos2C,2cosC＝3(cosC－sinC)，tanC13πππ ＝，∵B＝2C，∴C为锐角，∴tanC＝，C＝，B＝，A＝，故选A. 33632 [答案] A 5．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB2 ＝，则b＝( ) 3 A．14 B．6 C.14 D.6 [解析] bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，∴b＝a＋c－2accosB＝9＋1－2 2×3×1×＝6，b＝6，故选D. 3 [答案] D 6．(2018·山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为( ) 2 2 2 2 2 2 2 A．23＋2 3＋2 2B. 3＋1 2 C.D.3＋1 2 2 2 [解析] 在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC＝1＋2－1?π?22 2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD＝AC＝5－4cosα，S△BCD＝·2·CD·sin?＋β? 2?3?311?π?＝CD·sin?＋β?＝CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：＝ 2sinβ?3?2 ACsinα ，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)＝CD(1－sinβ)＝CD2 2 2 2222 －sinα＝5－4cosα－sinα＝(2－cosα)，∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ＝2－ 2 cosα，∴S△BCD＝ 3131CD·cosβ＋CD·sinβ＝·(2－cosα)＋sinα＝3＋2222 π?5π?sin?α－?，当α＝时，(S△BCD)max＝3＋1. 3?6? [答案] D 二、填空题 7．(2018·长春二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝________. [解析] 由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc.由余1222 弦定理得a＝b＋c－2bccosA，故cosA＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°. 2 [答案] 120° 8．计算：4cos50°－tan40°＝________. sin40° [解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－ cos40°＝＝＝＝＝ 4cos40°sin40°－sin40° cos40°2sin80°－sin40° cos40° －－sin40° cos40° 3cos40°＋sin40°－sin40° cos40°3cos40° ＝3. cos40° 3 22 ，3 2 2 2 2 [答案] 9．(2018·安徽合肥一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝ bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为________． [解析] 已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R为△ ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，则2RsinC＝2，因为cosC221＝，所以sinC＝，所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π. 33 [答案] 9π 三、解答题 4510．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. 35 3 (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 4sinα4 [解] (1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα. 3cosα39222 因为sinα＋cosα＝1，所以cosα＝， 2572 所以cos2α＝2cosα－1＝－. 25 (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又因为cos(α＋β)＝－ 5， 5 2 所以sin(α＋β)＝1－cos因此tan(α＋β)＝－2. α＋β 25＝， 5 42tanα24 因为tanα＝，所以tan2α＝＝－. 2 31－tanα7因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－1＋tan2αα＋βα＋β2＝－. 11 5??11．(2018·河北保定三模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足?c－a??4?cosB＝bcosA. 2(1)若sinA＝，a＋b＝10，求a； 5(2)若b＝35，a＝5，求△ABC的面积S. ?5?[解] ∵?c－a?cosB＝bcosA， ?4?5?5?∴由正弦定理得?sinC－sinA?·cosB＝sinBcosA，即有sinCcosB＝sinAcosB＋ 4?4?54 cosAsinB，则sinC·cosB＝sinC.∵sinC>0，∴cosB＝. 45 43 (1)由cosB＝，得sinB＝， 552asinA2 ∵sinA＝，∴＝＝. 5bsinB3又∵a＋b＝10，∴a＝4. (2)∵b＝a＋c－2accosB，b＝35，a＝5，∴45＝25＋c－8c，即c－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)， 2 2 2 2 2 4 1 ∴S＝acsinB＝15. 2 tanAtanB12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋. cosB(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cosC的最小值． [解] (1)证明：由题意知2? ?sinA?cosA＋sinBcosB?? ?＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB， 化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB. 因为A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC. 从而sinA＋sinB＝2sinC. 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)由(1)知c＝ a＋b2 ， 22 2 a2＋b2－? ?a＋b所以cosC＝a＋b－c?2??2 ? 2ab＝2ab ＝3?ab?118??b＋a??－4≥2 ， 当且仅当a＝b时，等号成立． 故cosC的最小值为1 2 . cosA5
2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 专题跟踪训练15 三角恒等变换与解三角形 理
