上海海洋大学试卷
学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2007 ~ 2008 学年第 2 学期 概率论与数理统计 1106403 二 三 四 学分 五 六 3 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 48 十 总分 姓名： 学号： 专业班名：
一．填空题（每空2分，共24分）。
1．设A、B、C为任意三事件，三个事件都未发生可表示为 A B C 。
2．设p(A)?0.4，p(A?B)?0.7，若事件A与B互斥，则p(B)? 0.3 ，若事件A与B独立，则p(B)? 0.5 。
3．袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，现从中任取2只，则此两球颜色不同的概率为
112 C4 或 （ 4/7 ） 。 C3/C74．若随机变量X服从参数为?的泊松分布，且有p(X?2)?p(X?4)，则?? 23 。
?ax20?x?15．设随机变量X的概率密度函数f(x)?? ，则a? 3 。
其他?026．随机变量X~N(?,?)，则Y?X???~ N(0,1) 。
27．若X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，X，S分别为样本均值和样本方差，则
2(X??)n~ t(n?1) 。
S??8．X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，若统计量???Xii?1ni是总体均值E(X)的无偏估计量，则
??i?1ni? 1 。
9．在假设检验中，若接受原假设H0，则可能犯 受伪错误 。
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10．设X1,X2,?,Xn是来自正态总体X~N(?,?2)的简单随机样本，要检验H0：???0，若?2未知，则拒绝域为
X??0X??0?t?(n?1)，若?2已知，则拒绝域为?Z? 。 S?22nn二．（12分）假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调
试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有3件不能出厂的概率。
解：设A：一台仪器可以直接出厂；B：一台仪器最终出厂；C：n台仪器全部能出厂 D：n台仪器中恰有3台不能出厂
（1）B?AB?AB?P(B)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94--------（6分）
P(C)?(P(B))n?0.94n---------（2分）
3（2）P(D)?Cn0.94n?30.063-----------（4分）
?Ax?1?三．（15分）设随机变量X的概率密度为f(x)??1?x2 ，试求：
x?1?0?（1） 常数A；（2）X落在(?解：（1）由
11,)内的概率；（3）X的分布函数。 22?2????f(x)dx?1??11A1?x2?1dx?1---------（3分）
1A?111?x?1dx?Aarcsinx?1??A?1?A??------------（2分）
（2）P(?1111/21111/2?X?)??dx?arcsinx?1/2?----------（5分） 22??1/21?x2?3?0,x??1?1??xf(x)dx???dx?arcsinx?,?1?x?1----------（5分）
?161?x2??1,x?1?（3）F(x)??x??
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四．（9分）设连续性随机变量X~N(1,2)，Y~P(3)，且X与Y相互独立，求E(XY),D(XY)。 解：∵X、Y相互独立，∴E(XY)?E(X)E(Y)--------（2分） 又E(X)?1,E(Y)?3?E(XY)?3------（3分）
D(XY)?E(XY)2?(E(XY))2?EX2EY2?9-----------（2分） EX2?DX?(EX)2?2?1?3,EY2?DY?(EY)2?3?9?12，
∴D(XY)?3?12?9?27----------（2分）
五．（10分）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差
为5kg，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。
解：设X为这批产品一箱的重量，从中取样本：X1,X2?Xn，则
n?Xi?1ni表示n箱产品的总重量
据中心极限定理：P(i?1?Xi?nEX?x)??(x)，---------（3分）
nDX∴要使P(?Xi?5000)?P(i?1i?1n?Xni?50n?5000?50n5n5n1000?10n)??()?0.977，---（4分）
n由?(2)?0.977，只要
1000?10nn?2?n?98-------（3分）
2?x?x?e2?,x?0六．（10分）已知总体X的密度函数为f(x)??? ，未知参数??0，X1,X2,?,Xn是
x?0?0,?来自总体X的样本。求?的矩估计量和最大似然估计量。 解：（1）EX?????x?20?e?x22?dx???xde02???x22???xe?x22?????e00???x22?dx?2??-------（3分） 2 ∴X?EX???2?X------（2分）
（2）L(x1,x2,?,xn,?)???ei?1nxix2?i2??1?n(?xi)ei?1n?1n2(xi)2?i?1?----------（2分）
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1lnL??nln???lnxi?2?i?1?n?lnLn1，由x???????2?2i?12in?xi?1n2i?0?----（2分）
1n2 ??Xi--------（1分） ?2ni?1七．（6分）某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅行者，得知平均消费额根据经验，已知旅行者消费X~N(?,122)，求该地旅游者平均消费额?的置信度为95%x?80元，的置信区间。
解：已知??12，所以?的置信度为95%的置信区间为[X??nZ?/2, X??nZ?/2]-------（3分）
由x?80,n?100,Z0.025?1.96代入可得：------（2分）
, 82.352]--------（1分） 所求?的置信度为95%的置信区间为：[77.6482八．（14分）在正常的生产条件下，某产品的测试指标总体X~N(?0,?0)，其中?0?0.23。后来
改变了生产工艺，出了新产品，假设新产品的测试指标总体仍为X，且知X~N(?,?2)。从新产品中随机地抽取10件，测得样本值为x1,x2,?,x10,计算得样本标准差为S?0.33。试在检验水平
22??0.05的情况下，检验：（1）方差?有没有显著变化？（2）方差?是否变大？
22解：（1）H0:?2??0 -----------------（2分） ?0.232,H1:?2??0?未知，∴检验水平??0.05下的拒绝域：
{(n?1)S2?20???/2(n?1)或2(n?1)S2?20??2?(n?1)}---------（3分）
1?2 由n?10,S?0.33,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.7代入：
22
(n?1)S22?09?0.332??18.53, ∵ 2.7?18.53?19.023 20.23∴接受H0，认为方差没有显著变化------（2分）
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22（2）H0:?2??0--------（2分） ?0.232,H1:?2??0?未知，∴检验水平??0.05下的拒绝域：{(n?1)S22?02???(n?1)}-----（3分）
由?20.05(9)?16.919，
(n?1)S22?09?0.332 ??18.53, 18.53?16.9190.232∴在检验水平??0.05下认为方差显著变大-----（2分） 附表1：
2X~?2(n), P{X>??(n)}=?；
n=9 n=10 n=11 ??0.025 19.023 20.483 21.920 2??(n) ??0.05 16.919 18.307 19.675 2??(n) ??0.95 3.325 3.94 4.575 2??(n) ??0.975 2.7 3.247 3.816 2??(n) 附表2：?(x)? 0.00 x 1.9 2.0
?x12???e?t22dt(x?0)
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.01 0.9713 0.9770 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 第5页 共5页
海洋大学2007-2008概率论与数理统计期终考试试卷b
