课时作业28 数列的概念及简单表示法
一、选择题
1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中,x应取( ) A.19 C.21
B.20 D.22
解析:a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,∴x=8+13=21,故选C. 答案:C
??2ann为正奇数,
2.(2016·山西长治模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=?
??an+1n为正偶数,
则
其前6项之和为( )
A.16 C.33
B.20 D.120
解析:a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以前6项和S6=1+2+3+6+7+14=33,故选C.
答案:C
3.在数列{an}中,已知a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则a2 016等于( ) A.a C.b-a
B.b D.a-b
解析:通过计算数列的前12项可知,数列的周期为6,而2 016=6×336,∴a2 016=a6
=a-b.
答案:D
4.(2016·天津一模)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2} C.{1,2,3}
B.{1,2,3,4} D.{1,2,4}
ann解析:因为Sn=2an-1,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,又因为a1=2a1-1,解得a1=1,所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故{an}的通项公式为an=2
答案:B
5.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 014项之和S2 014等于( )
A.1
B.4 018
n-1
.由≤2,得2
annn-1
≤2n,所以有n=1,2,3,4.
C.2 010 D.0
解析:依题意,该数列为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009,1,…,按此规律,可知该数列的周期为6,且这6项之和为0,∴这个数列的前2 014项之和S2 014=S335×6+4=S4=2 008+2 009+1-2 008=2 010.
答案:C
?3-ax+2,x≤2,6.(2016·陕西西安模拟)已知函数f(x)=?2
?a2x-9x+11,x>2
*
(a>0,且a≠1),若数列{an}满足an=f(n)(n∈N),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) C.(2,3)
?8?B.?,3? ?3?
D.(1,3)
3-a>0,??
解析:因为{an}是递增数列,所以?a>1,
??3-a×2+2 7.若数列{an}的前n项和Sn=n-10n(n∈N),则数列{nan}中数值最小的项是( ) A.第2项 C.第4项 解析:∵Sn=n-10n, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11; 当n=1时,a1=S1=-9也适合上式. ∴an=2n-11(n∈N). 112* 记f(n)=nan=n(2n-11)=2n-11n,此函数图象的对称轴为直线n=,但n∈N,∴ 4当n=3时, f(n)取最小值.于是,数列{nan}中数值最小的项是第3项. 答案:B 8.数列{an}的通项an=A.310 1 C. 19 * 2 2* B.第3项 D.第5项 n2n+90 ,则数列{an}中的最大值是( ) B.19 D.10 60 解析:因为an= 11* ,运用基本不等式得≤由于n∈N,不难发现当n=9或9090290n+n+ 1 nn1 10时,an=最大. 19 答案:C 17* 9.(2016·广东三校联考)已知数列{an}满足:a1=,对于任意的n∈N,an+1=an(1- 72 an),则a1 413-a1 314=( ) 2 A.- 73C.- 7 2B. 73D. 7 1716373467613 解析:a1=,a2=××=,a3=××=,a4=××=,… 7277727772777 633 归纳可知当n为大于1的奇数时,an=;当n为正偶数时,an=,故a1 413-a1 314=. 777答案:D 10.(2016·浙江永康明珠学校月考)自然数按照下表的规律排列,则上起第2 013行,左起第2 014列的数为( ) A.2 013×2 014+3 C.2 013×2 014+1 B.2 013×2 014+2 D.2 013×2 014 解析:表中每行的第一个数构成的数列记为{an},则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…, a2 013-a2 012=2×2 012-1,以上式子叠加可得,a2 013=2 013×2 011+2,由表中的数据规律 可知,第2 013行中共有2 013个数,∴第2 014行的第一个数为2 014×2 012+2,∵第2 014行的数是以2 014×2 012+2为首项,1为公差的等差数列,且横行有2 014个数,最后一个数是2 014×2 012+2+2 013,则上起第2 013行,左起第2 014列的数是在第2 014行第2 014列的数的上面的一个数,即2 014×2 012+2+2 013+1=2 014×2 012+2 014+2=2 014×2 013+2,故选B. 答案:B 二、填空题 1* 11.已知数列{an}对于任意p,q∈N,有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=________. 91 解析:∵a1=, 9 248 ∴a2=a1+a1=,a4=a2+a2=,a8=a4+a4=. 999 18 ∴a36=a18+a18=2a18=2(a9+a9)=4a9=4(a1+a8)=4(+)=4. 99答案:4 12.(2016·湖北八校联考)设数列{an}共有n项(n≥3,且n∈N),且a1=an=1,对于每个i(1≤i≤n-1)均有________. ?a3?1??1?1?1?a2?1 解析:因为∈?,1,3?,∈?,1,3?,a1=a3=1,所以a2∈?,1,3?,∈?,1,3?, a1?3?a2?3??3?a2?3? ?ai+1?1 ∈?,1,3?.若n=3,则满足条件的所有数列{an}的个数为ai?3? * 1 所以a2=或a2=1或a2=3.所以满足条件的所有数列{an}的个数为3. 3 答案:3 13.已知数列{2 n-1 ·an}的前n项和Sn=9-6n,则数列{an}的通项公式是________. 0 解析:当n=1时,2·a1=S1=3,∴a1=3. 当n≥2时,2 3 n-1 ·an=Sn-Sn-1=-6, 3,n=1,?? ∴an=-n-2,∴通项公式an=?3 2-n-2,n≥2.??23,n=1,?? 答案:an=?3 -n-2,n≥2??2 1+an* 14.(2016·贵州贵阳监测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N),则该数列的前 1-an2 015项的乘积a1·a2·a3·…·a2 015=________. 1+a11+a211+a311+a4 解析:由题意可得,a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1, 1-a11-a221-a331-a4 ∴数列{an}是以4为周期的数列,而2 015=4×503+3,a1a2a3a4=1,∴前2 015项的乘积为1·a1a2a3=3. 答案:3 三、解答题 15.(2016·河南郑州质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk对任意n∈N恒成立的实数k的取值范围. 解:(1)由于Sn=2an-2, 所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即 * 503 an=2. an-1 n* 数列{an}是以a1=2为首项,公比q=2的等比数列,所以an=2(n∈N). (2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=由(n-8)bn≥nk对任意n∈N恒成立,即实数 * nn+1 2 . ≥k对n∈N恒成立. * n-8 2 n+1 1 设cn=(n-8)(n+1),则当n=3或4时,cn取得最小值为-10,所以k≤-10. 216.(2016·甘肃天水一模)已知数列{an}中,a1=1,且an+an+1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前n项和为Sn,求S2n. 解:(1)∵an+an+1=2,① ∴an+1+an+2=2 n+1 nn② n②-①,得an+2-an=2. 由a1=1,a1+a2=2,得a2=1. 当n为奇数时, an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a3-a1)+a1 =2 n-2 +2 n-4 +…+2+1 11n=×2+; 33当n为偶数时, an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a4-a2)+a2 =2 n-2 +2 n-4 +…+2+1 2 11n=×2-. 33 11 ×2+,n为奇数,??33 故a=?11 ×2-,n为偶数.??33 nnn 1111112n-1112n12 (2)S2n=×2++×2-+…+×2++×2- 33333333122n22n-12n=(2+2+…+2+2)=(2-1). 33
新课标高考数学大一轮复习第五章数列8数列的概念及简单表示法课时作业文
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