《高等数学》授课教案
第一讲 高等数学学习介绍、函数
教学目的:了解新数学认识观,掌握基本初等函数的图像及性质;熟练复合函
数的分解。
重 难 点:数学新认识,基本初等函数,复合函数 教学程序:数学的新认识—>函数概念、性质(分段函数)—>基本初等函数—>复合函数—>初等函数—>例子(定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像)
授课提要:
前 言:本讲首先是《高等数学》的学习介绍,其次是对中学学过的函数进行复习总结(函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解)。 一、新教程序言
1、为什么要重视数学学习
(1)文化基础——数学是一种文化,它的准确性、严格性、应用广泛性,是现代社会文明的重要思维特征,是促进社会物质文明和精神文明的重要力量; (2)开发大脑——数学是思维训练的体操,对于训练和开发我们的大脑(左脑)有全面的作用;
(3)知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础,是我们生活和工作的一种能力和技术;
(4)智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力,这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识
(1)新数学观——数学是一门特殊的科学,它为自然科学和社会科学提供思想和方法,是推动人类进步的重要力量;
(2)新数学教育观——数学教育(学习)的目的:数学精神和数学思想方法,培养人的科学文化素质,包括发展人的思维能力和创新能力。
(3)新数学素质教育观——数学教育(学习)的意义:通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]
二、函数概念
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1、函数定义:变量间的一种对应关系(单值对应)。
(用变化的观点定义函数),记:y?f(x)(说明表达式的含义) (1)定义域:自变量的取值集合(D)。
(2)值 域:函数值的集合,即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域?
2、函数的图像:设函数y?f(x)的定义域为D,则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
例如:熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数:对自变量的不同取值围,函数用不同的表达式。 例如:符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域:不同自变量取值围的并集。
?x2,x?0例2、作函数f(x)??的图像?
?2x,x?0?x2,x?0例3、求函数f(x)??的定义域及函数值f(?1),f(0),f(1)?
?1,x?0三、基本初等函数
熟记:五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。
四、复合函数:设y=f(u),u=g(x),且与x对应的u使y=f(u)有意义,则y=f[g(x)]是x的复合函数,u称为中间变量。 说 明:(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如:y?lnu,u??x2就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域:各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到进行;复合时,则直接代入消去中间变量即可。 例5、设f(x)?x2,g(x)?2x,求f(g(x)),g(f(x))?
例6、指出下列函数由哪些基本初等函数(或简单函数)构成? (1)y?ln(sinx2) (2) y?e?2x (3) y?1?arctan2x
五、初等函数:由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数,且用一个表达式所表示。
说 明:(1)一般分段函数都不是初等函数,但y?x是初等函数; (2)初等函数的一般形成方式:复合运算、四则运算。 思考题:
1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素? [定义域、对应法则]
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2、 思考函数的几种特性的几何意义? [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数?你是否可以用例子说明?[不能]
探究题:
一位旅客住在旅馆里,图1—5描述了他的一次行动,请你根据图形给纵坐标赋予某一
个物理量后,再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上具体的数值,精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗?
小 结:函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量反映;复合函数反映了事物联系的复杂性;分段函数反映事物联系的多样性。
作 业:P4(A:2-3);P7(A:2-3)
图1—5 时间 课堂练习(初等函数)
【A组】
1、求下列函数的定义域?
(1)y?x2?1 (2) y?ex (3) y?log2(x-1) (4) y?x?ln(4?x2) x?12、判定下列函数的奇偶性?
(1) y?f(x)?f(?x) (2) y?ex?e?x (3) y?x2n?1(n为自然数) 3、作下列函数的图像?
x2?1(1) y? (2) y?e?x (3) y?sinx
x?14、分解下列复合函数?
1(1) y?x2?1 (2) y?esinx (3)y? (4)y?ln2(cosx) 1?sin3x【B组】
1、证明函数y?ln(x?x2?1)为奇函数。
2、将函数y?x?1?2x?1改写为分段函数,并作出函数的图像?
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