第5节：隐函数的求导公式
教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：
一、一个方程的情形
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 f(x,y)=0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.
P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点
且F(x0,y0)?0，, Fy(x0,y0)?0，则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y?f(x)，它满足条件y0?f(x0)，并有
Fdy??x （2） dxFy公式（2）就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数y?f(x)代入，得恒等式 F(x,f(x))?0,
其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得
?F?Fdy??0, ?x?ydx由于Fy连续，且Fy(x0,y0)?0，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy?0，于是得
Fdy??x. dxFy如果F(x,y)的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得
???d2y????Fx?????Fx?dy???? dx2?x??Fy??y?Fy?dx
FxyFy?FyyFx?Fx???????22?Fy?FyFy??
FxxFy2?2FxyFxFy?FyyFx2??.3FyFxxFy?FyzFx例1 验证方程x?y?1?0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y?1的隐函数y?f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。
22解 设F(x,y)?x?y?1，则Fx?2x,Fy?2y,F(0,1)?0,Fy(0,1)?2?0.因此
2222由定理1可知，方程x?y?1?0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y?1的隐函数y?f(x)。
下面求这函数的一阶和二阶导数
Fdyxdy??x=?，
dxydxFy?0;
x?0xy?x(?)d2yy?xy?y2?x21y =???????, 2233dx2yyyyd2y
dx2??1。
x?0隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
数，那末一个三元方程
F(x,y,z)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=(x,y)的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定
理。
隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)?0，Fz(x0,y0,z0)?0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z?f(x,y)，它满足条件
z0?f(x0,y0)，并有
?z
?x(4)
=
?FxFz,
?z?y=
?FyFz.
这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F(x,y, f(x,y))≡0, 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得 Fx+Fz?z?z=0, Fy+Fz=0。
?y?x因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)?0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
FyF?z?z=?x,=?。
F?y?xFzz22?2z例2 设x?y?z?4z?0，求2.
?x2解 设F (x,y,z) =x?y?z?4z，则Fx=2x, Fz=2z?4.应用公式(4)，得
222
隐函数求导公式
