?12222xxy|2dy ?12x?124(4x?4)dx ?12222x5?(?2x)|?10.
155参见教材P162,例4．计算二重积分??Dx2dxdy，其中D由直线2yy 2 y=x y?2,y?x及双曲线xy?1所围成. 【解】画出区域D的图形，如图5-7， 如图三个顶点分别为A(,2),B(1,1),C(2,2) 1 O x 由积分区域的形状可知，采用先x后y的积分次序较好， 图5-7 即先对x积分. 22yx211x23dxdy?dydx?(x1222?1?yy?1y3)1dy yy212x?1 yy??D12111127??(y?5)dy?(y2?4)? 31y324y164
?1?26．设矩阵A??1?0??1??1????2?30?，B??3?,且满足AX?B?AB?X,求矩阵X.
?2?2?3????0解：由AX?B?A2B?X可得(A?E)X?(A2?E)B?(A?E)(A?E)B
0因|A?E|?10?42?10??2?0,所以A?E可逆, ?40?2?因此X?(A?E)B??1?0?0?22?1??1??0??????0??3????5?
?????2???2??2??201??100?????参见冲刺试卷9,28题．已知A??020?,B??0?10?，若X满足 ?202??001?????AX- BA=B+X．求X．
x?127．设行列式D(x)?1x?12222x?13333x?133322x?13333x?1x?7?x?7x?7x?7101x?12200x?1122x?13000x?2
,求D(x)在x?0处的导数.
111x?1解：D(x)?1x?12222x?13333x?1
111x?11?(x?7)111221x?1?(x?7)1x1111?x(x?7)(x?1)(x?2)?(x2?7x)(x2?3x?2).
故D?(x)?(2x?7)(x2?3x?2)?(x2?7x)(2x?3). 从而D?(0)?14.
本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同. 参见教材P200,例1,P201,例8, P202,例9,(2),P204填空题2. x?0,?0,?a,0?x?1,??28．已知离散型随机变量X的密度函数为F(x)??1且数学期望
1?x?2,?2,??x?2.?1, E(X)?4. 3求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．
解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且
11?a,P(X?2)? 221134因E(X)?0?a?1?(?a)?2???a?
22231所以a?.
6P(X?0)?a,P(X?1)?(2) 由（1）即得X的分布列为 X 0 1 2 1 612117222(3) E(X)?0??1??2??,
6323P 1 31 2参见冲刺试卷2,20题．设随机变量X的概率分布律为 X P －1 0 1 1/6 a b 且E(X)=1/3，则D(X)＝________． 解：由题意知: 11111?a?b?1,E(X)???b?? a?,b? 66332112215E(X2)???,故D(X)?E(X2)?(EX)2???. 623399参见模考试卷1,29．设离散型随机变量?的分布列为 ? P(??k) 1 2 0.3 3 4 0.2 a b 且?的数学期望E??2.7.求（1）常数a,b的值；（2）?的分布函数F(x)；（3）?的方差D?.
四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 29．设u?xy2f()，其中f(t)可微，证明:xxy?z?z?y?3u. ?x?y证明：因为
?uxx1?y2f()?xy2f?()? ?xyyy2 ?yf()?xyf?(),
xyxy?uxx?x??2xyf()?xy2f?()???2? ???yyy?y?xx?2xyf()?x2f?(),
yy故x?u?uxxxx?y?xy2f()?x2yf?()?2xy2f()?x2yf?() ?x?yyyyy ?3xyf()?3u. ????(9分)
2xy参见冲刺试卷2,16题．设z?xyf()，且f(x)可导，则yxx?z?z?y= ． ?x?y 30．设D是由曲线y?lnx,x?e及x轴所围成的的平面区域
求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V． 解:区域D如图阴影部分所示。曲线y?lnx与x轴及 y x?e的交点坐标分别为(1,0),(e,1) (e,1) （1）平面区域D的面积
y=lnx eS??lnxdx?(xlnx?x)|?1.
11e O 1 e x （2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V
V???e?1???(ey)2dy021??e???edy???e?0212y2?2e2y1|0
??2(e2?1).
这是最基本的题型,每套试卷都有. 31．证明不等式：当a?b?e时，
blnba??(e?2.71828). alnab证明: 设f(x)?xlnx,x?(e,??),则f?(x)?1?lnx?0,x?(e,??), 所以f(x)?xlnx在x?(e,??)上单调递增,从而当当a?b?e时,有
lnba?; lnablnx1?lnx,x?(e,??),则g?(x)??0,x?(e,??), 令g(x)?xx2lnx在x?(e,??)上单调递减,从而当当a?b?e时,有 所以g(x)?xf(a)?f(b),即alna?blnb,即
专升本《高等数学》试题和答案
