第二讲：圆
知识梳理
知识点一、圆的定义及有关概念
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重点：掌握圆的定义及有关概念 难点：熟练掌握运用概念
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．
解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm 知识点二、平面内点和圆的位置关系
重点：掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系 难点：运用点和圆的位置关系及数量关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。 当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。 当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例．如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．
解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部
，?4)．试判断点P(3，?1)练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1与圆O的位置关系． 答案：点P在圆O上． 知识点三、圆的基本性质
重点：掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论 难点：定理及推论的运用
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
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圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。 例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，?根据垂径定理，有R2=d2+（
a）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C 2例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15°
解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A
例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
AFMPECAEBNDODNBPMFC
(1) (2)
解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4
∴AB=CD
例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
2024年中考数学一轮复习--第二讲圆
