从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
ACAFFC3
∵BD∥EC，∴AD＝AB＝BD＝4， 8CD1
即BD＝3，AD＝4. 又由切割线定理知 BD2＝CD·AD＝4CD2， 14即CD＝2BD＝3. 4
【答案】 3 考向2 四点共圆问题
圆内接四边形的性质定理和判定定理
性质定理 圆内接四边形对角互补 如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆 四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝π，∠B＋ ∠D＝π在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝π，则四边形ABCD内 接于圆判定定理
四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆；四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．
(2013·课标Ⅱ，22，10分)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD
于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
【思路导引】 (1)要证CA是△ABC外接圆的直径，只需证∠ABC为直角；(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比．
BCDC
【解析】 (1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知FA＝EA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
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＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆1面积的比值为2.
证明四点共圆的主要方法
(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆．
(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
(5)相交弦定理的逆定理． (6)割线定理的逆定理．
(2011·辽宁，22，10分)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长
线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA，
故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC.
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如图，连接AF，BG， 则△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE，
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°， 故A，B，G，F四点共圆．
1．(2014·广东四校联考，15)如图，过点C作△ABC外接圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD＝3，AB＝AC＝2，则BC＝________.
【解析】 由切割线定理，得CD2＝DA·DB，即3＝DA·(DA＋2)，解得DA＝1.由于AD2＋DC2＝AC2，所以△ADC为直角三角形，且∠D＝90°，所以BC＝3＋32＝23.
【答案】 23
2．(2015·天津河东一模，13)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A， ∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.
【解析】 因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则∠B＝∠EAC. 又因为CD平分∠ACB， 则∠ACD＝∠BCD，
所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD. 根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD. 因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°， 所以△ADF是等腰直角三角形．
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所以∠ADF＝∠AFD＝45°.
【答案】 45°3.(2015·陕西西安五校联考，15B)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．
【解析】 连接AB，∵PA切圆O于点A，且B为PO的中点， ∴AB＝OB＝OA，
∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.
在△POD中，由余弦定理知PD2＝PO2＋OD2－2PO·OD·cos∠POD＝7， ∴PD＝7. 【答案】
7
4．(2015·湖南株洲一模，11)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA，②AF·AG＝AD·AE，③△AFB∽△ADG，其中正确结论的序号是________．
【解析】 由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，
所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋(BF＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；
因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE.
又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确； 根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD. 又因为BD＝BF，
所以∠BDF＝∠BFD＝∠AGD.
在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误． 【答案】 ①②
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5．(2014·河南郑州一模，22，10分)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.
(1)证明：AC2＝AD·AE； (2)证明：FG∥AC.
证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线， ∴AB2＝AD·AE.
又∵AC＝AB，∴AC2＝AD·AE. ACAE(2)∵AC2＝AD·AE，∴AD＝AC. 又∵∠DAC＝∠CAE，
∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC. 又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形， ∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG.
∴FG∥AC.6.(2015·辽宁盘锦二模，22，10分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：B，P，E，F四点共圆；
(2)若CD＝2，CB＝22，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．
解：(1)证明：如图，连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.
因为EF⊥CE，
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2019高考复习 几何证明选讲
