从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
BC·EA5×615BDBC
所以EA＝EB，则BD＝EB＝4＝2.
15
【答案】 2 2．(2012·湖南，11，易)如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于________．
【解析】 方法一：设PO与圆O交于点D，半径为R，则由切割线定理得PA·PB＝PD·(PO＋OD)，即1×3＝(3－R)·(3＋R)，所以R＝6.
方法二：如图，取AB的中点C，连接OB，OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝OP2－CP2＝5.
∴圆O的半径为OB＝OC2＋CB2＝6.
【答案】
6
3．(2014·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
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(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E， 所以△ADE为等边三角形．
4．(2014·辽宁，22，10分，中)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG， 所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA. 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA.
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°， 于是∠BDA＝90°，故AB是直径． (2)连接BC，DC.
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由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 从而Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA， 故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角， 于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.
5．(2013·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
解：(1)证明：连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理得∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
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3
故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 3
所以CF⊥BF，BC为△BCF外接圆的直径，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.
方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理，余弦定理相结合解三角形．
考向1 与圆有关的比例线段问题
定理名称 相交 弦定 理 基本图形 内容 条件 结论 (1)PA·PB应用 (1)在PA，PB，PC，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 从圆外一点引圆的弦AB，CD相＝PC·PD PD四条线段中知交于圆内点P (2)△ACP三求一 ∽△DBP (2)求弦长及角 (1)PA·PBPAB，PCD是＝PC·PD ⊙O的割线 (2)△PAD∽△PCB PA切⊙O于(1)求线段PA，PB，PC，PD及AB，CD (2)应用三角形相似求AD，BC (1)对于线段PA，PB，PC的长可知二求一 (2)求解AB，AC 割线定理 两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 从圆外一点引圆的切割线定理 切线和割线，切线长点A， 是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 PBC是 ⊙O的 割线 (1)PA2＝PB·PC (2)△PAB∽△PCA (2014·课标Ⅱ，22，10分)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，
割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.
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【思路导引】 (1)由等腰三角形的性质、三角形外角的性质及圆的有关性质求解；(2)由切割线定理和相交弦定理，再结合条件求解．
【证明】 (1)如图，连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB，
︵︵
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC， 因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC， 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB， BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC. 所以AD·DE＝2PB2.
与圆有关的比例线段问题的解题方法
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线
3
相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝2，则线段CD的长为________．
【解析】 由相交弦定理知EF·FC＝AF·BF，解得FC＝2.
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2024高考复习 几何证明选讲
