从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
EFEFCF＋BF
∴AB＋CD＝BC＝1， EFEF
即20＋80＝1. ∴EF＝16. 【答案】 16
3．(2015·陕西咸阳二模，15B)如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝________．
【解析】 根据切割线定理可得∠ABC＝∠EAC.
因为线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC. 又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠ADE＝∠EAD， 即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，
在△ACE和△ABE中，因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB， 所以△CAE∽△ABE，则有即DE＝AE＝4. 【答案】 4
4．(2015·广东惠州调研，15)已知梯形ABCD的上底AD＝8 cm，下底BC＝15 cm，在边AB，CD上分别取E，F，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF＝________cm.
AECE
＝?AE＝4， BEAE
【解析】 因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5. 又因为BC＝15 cm，
所以EP＝9 cm.同理PF＝3.2 cm.所以EF＝12.2 cm. 【答案】 12.2
5．(2015·天津五校联考，13)如图，直线PC与⊙O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
【解析】 由切割线定理知PA·PB＝PC2，所以PA＝2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO＝5，OC·PC3×412连接OC，在△OCP中，由三角形的面积相等知CE·OP＝OC·PC，所以CE＝OP＝5＝5.
12
【答案】 5
6．(2014·河南开封一模，22，10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．
解：(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，
∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.
(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°. AB
∴AE＝sin 60°，AE＝BFAB又AD＝AE， AB33
∴BF＝AE·AD＝2.
483
＝3.
sin 60°
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
1．(2015·天津，6，易)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )
8
A.3 B．3 105C.3 D.2 【答案】 A 由相交弦定理，得 CM·MD＝AM·MB＝AN·BN 2
＝9AB2＝8.
2
CN·NE＝AN·BN＝9AB2＝8， 又∵CN＝3，
8
∴NE＝3.2.(2015·课标Ⅱ，22，10分，中)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．
解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
所以AD是∠CAB的平分线． 又因为⊙O分别与AB， AC相切于点E，F， 所以AE＝AF，故AD⊥EF. 从而EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故AD是EF的垂直平分线．
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上． 如图，连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE， 所以∠OAE＝30°.
因此△ABC和△AEF都是等边三角形． 因为AE＝23， 所以AO＝4，OE＝2.
1
因为OM＝OE＝2，DM＝2MN＝3， 所以OD＝1.
103
于是AD＝5，AB＝3. 所以四边形EBCF的面积为
1?103?2313163
??×－×(23)2×＝×2?3?2223.
3．(2015·课标Ⅰ，22，10分，中)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．
解：(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC， 故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0. 可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
1．(2013·天津，13，易)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．
【解析】 因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB·EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△EBA，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
2019高考复习 几何证明选讲
