从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
行于三角形的第三边．
(3)直角三角形相似的特殊判定方法
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 2．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比． (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
(1)(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE
△CDF的周长
交于点F，则＝________.
△AEF的周长
(2)(2012·辽宁，23，10分)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：
①AC·BD＝AD·AB； ②AC＝AE.
【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCF＝∠FAE，∠CDF＝∠FEA，∴△CDF∽△AEF， CDDFCF∴AE＝EF＝AF.
CDDFCF
又∵EB＝2AE，∴AB＝3AE＝CD?AE＝3?EF＝AF＝3， △CDF的周长∴＝3. △AEF的周长
(2)证明：①由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
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ACAB从而AD＝BD， 即AC·BD＝AD·AB.
②由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD. AEAD从而AB＝BD， 即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论，可得AC＝AE.
【点拨】 解题(1)及(2)①的关键是证明三角形相似；题(2)②需注意应用圆中的有关定理，并结合相似三角形进行证明．
相似三角形的判定定理的选择
(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；
(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定．
(2013·陕西，15B)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于
点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
【解析】 因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED，所以∠A＝∠PED. 又∠P是公共角，所以△PED∽△PAE. PDPE
则PE＝PA，即PE2＝PA·PD. 由PD＝2DA＝2，可得PE2＝6. 所以PE＝6. 【答案】
6
考向2 截割定理与射影定理的应用
1．平行线等分线段定理
(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)推论
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
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①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(1)(2011·广东，15)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，
BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
(2)(2015·河南郑州一模，22，10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.
求证：EF∶DF＝BC∶AC.
【解析】 (1)在梯形ABCD中，过C作CG∥AD交AB于G，交EF于H，如图．
则HF＝1，GB＝2.又EF∥AB， HFCF1
即HF∥GB，∴GB＝CB＝2，
∴F为CB的中点，∴EF为梯形ABCD的中位线． 设梯形EFCD的高为h，则梯形ABCD的高为2h. （AB＋CD）·2h（4＋2）×2h
S梯形ABCD＝＝＝6h，
22（CD＋EF）·h（2＋3）h5h
S梯形EFCD＝＝＝2.
22
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所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD＝12∶5， S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.
(2)证明：∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC， ∴由射影定理得AC2＝CD·BC， ACBC∴CD＝AC.①
∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD， AEAC∴DF＝CD.
又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC， EFAC
∴AE＝EF，∴DF＝CD.②
EFBC
由①②得DF＝AC，即EF∶DF＝BC∶AC.
【点拨】 解题(1)时应充分利用平行线分线段成比例定理，寻找比例关系，表示出相关梯形的面积；题(2)已知条件中含有直角三角形且涉及斜边上的高，首先考虑射影定理．
利用比例关系求值或证明的方法
高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等．在求值时往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证．同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用．
(1)(2015·广东佛山一模，15)如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知
AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝3，则△DEF的边长为________．
(2)(2015·陕西宝鸡质检，15B)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.
(1)【解析】 设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等．又DE∥BC，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
DEAMAH－MH则BC＝AH＝AH，
33－2x
2－xx
∴4＝＝2，
34
解得x＝3. 4
【答案】 3 (2)【解析】 如图，连接CD. ∵AC为⊙O的直径， ∴CD⊥AD.
∵△ABC为直角三角形， ∴BC2＝BD·AB， BC216∴BD＝AB＝5.
16
【答案】 5
1．(2014·陕西西安一模，15B)如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于________．
【解析】 因为AD∥EF，DE∥FC，所以△ADE∽△EFC.因为S△ADE∶S△EFC＝1∶4，所以AE∶EC＝1∶2，所以AE∶AC＝1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9，所以S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝4.
【答案】 4
2．(2015·广东湛江一模，15)如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，BC＝100，则EF＝________.
【解析】 ∵AB∥EF∥CD， EFCFEFBF∴AB＝BC，CD＝BC.
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2019高考复习 几何证明选讲
