从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
(2015· 广东，15，中)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD＝________.
【解析】 方法一：如图，连接OC，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
∵C为切点，
∴在△OCE中，OC＝r＝2，CE＝23， ∴OE＝4，
1
∴sin ∠CEO＝2，∴∠CEO＝30°. 在Rt△AED中，∠AED＝∠CEO＝30°， 11
∴AD＝2AE＝2(AO＋OE)＝3. 方法二：如图，连接OC.∴OC⊥CD. 又AD⊥CD，∴OC∥AD， ∴△OCE∽△ADE. 依题得，CE2＝BE·AE， ∴CE2＝BE·(AB＋BE)． 又CE＝23，AB＝4，∴BE＝2. OCOE又△OCE∽△ADE，∴AD＝AE， ∴AD＝
OC·AE
OE＝3.
【答案】 3
1．(2014·天津，7，易)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.
则所有正确结论的序号是( )
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】 D 由题意知∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
∴∠FBD＝∠DBC，故①正确； 由切割线定理知②正确； 易证△ACE∽△BDE. AEBE∴CE＝DE， ∴③不正确；
∵在△ABF和△BDF中，∠FBD＝∠BAD，∠BFD＝∠BFA， AFAB
∴△ABF∽△BDF，∴BF＝BD， ∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确． 故选D.
2．(2014·陕西，15B，易)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
【解析】 由已知得∠AEF＋∠BEF＝180°，∠BEF＋∠BCF＝180°， 所以∠AEF＝∠BCF；同理，可证∠AFE＝∠ABC. 所以△AEF∽△ACB，
EFAEAEAE
所以BC＝AC?EF＝AC·BC＝2AE×6＝3. 【答案】 3
3．(2013·广东，15，易)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
【解析】 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.
3
因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝2，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2
3332121
＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝4＋9－2×2×3×2＝4，故ED＝2.
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
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【答案】
212
4．(2012·陕西，15B，易)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________．
【解析】 由相交弦定理得AE·EB＝DE2，∴DE＝5. 又△DEB∽△DFE，∴DE2＝DF·DB＝5. 【答案】 5
5．(2013·辽宁，22，10分，中)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝90°； 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝90°，从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB， 故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.
6．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！
从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成
(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明：(1)如图，连接AF，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.
又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，所以四边形ADCF是平行四边形，
故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF， 故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，∠BGD＝∠BDG. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB. 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD.
考向1 相似三角形的判定方法与性质应用
1．相似三角形的判定方法 (1)判定定理
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平
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2019高考复习 几何证明选讲
