第十一讲 完全平方数和完全平方式
趣题引路】
一个四位数aabb为平方数,则a+b的值等于( ) A.11 B.10 C.9 D.8 因为aabb=1000a+100a+10b+b =11(100a+b),
由题意可设100a+b=11c(c是正整数), 所以,101<100a+b=11c<999, 9 经检验,c=8时满足条件,此时a=7,b=4. 故a+b=11.选A 知识拓展】 设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m,则称n是一个完全平方数(或平方数)。常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数;证明一个数不是完全平方数;关于存在性问题和其他有关间题等,最常用的性质有: (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,个位数字是2,3,7,8的数一定不是平方数; (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数,个位数字为6,而十位数字为偶数的数,也一定不是完全平方数; (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数; (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式; (5)任何整数平方之后,只能是3n或3n+1的形式,从而知,形如3n+2的数绝不是平方数;任何整数平方之后只能是5n,5n+1,5n+4的形式,从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数; (6)相邻两个整数之积不是完全平方数; (7)如果自然数和不是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是偶数;如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数; (8)偶数的平方一定能被4整除;奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数。 例1 若n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+1是3个完全平方数之和. () 2 2 22 解析 用式子表示完全平方数,然后讨论该数的特征。 证明 设3n+1=m,显然3不整除m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数). 若m=3k+1,则 m2?1(3k?1)2?1n???3k2?2k 332 ∴ n+1=3k+2k+1=k+k+(k+1). 若m=3k+2,则 m2?1(3k?2)2?1n???3k2?4k?1. 332222 ∴ n+1=3k+4k+2 =k+(k+1)+(k+1). 故n+1是3个完全平方数之和. 例2.一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数。 解析 引入参数,利用奇偶分析求解. 解 设所求正整数为x,则 x+100=m x+168=n 其中m,n都是正整数 ②-①得n-m=68, 即 (n-m)(n+m)=2 2 2 2 22 2 2 2 2 ? 17 因n-m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n-m,n+m都是偶数.注意到0 例3.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=5-3,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由. 解析 1不能表为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+ 1=(k+1)-k(k=1,2…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”。 对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)-(k-1)(k=2,3…).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”。 对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,3…),设4k+2=x-y=(x+y)(x-y),其中x,y为正整数,当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除;当x,y奇偶性相异时,(x+y)(x-y)为奇数,而4k+2为偶数,总得矛盾.所以不存在自然数x,y,使得x-y=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数” () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 因此,在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”,此后,每连续四个数中有三个“智慧数”. 因为1998=(1+3×665)+2,4?(665+1)=2664,所以2664是第1996个“智慧数”,2665是第1997个“智慧数”,注意到2666不是“智慧数”,因此2667是第1998个“智慧数”,即第1998个“智慧数”是2667. 例4.(2003年太原市竞赛题)已知:五位数abcde满足下列条件: (1)它的各位数字均不为零; (2)它是一个完全平方数; (3)它的万位上的数字a是一个完全平方数,千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数。 试求出满足上述条件的所有五位数。 解折 设M=abcde,且a=m(一位数),bc=n(两位数),de?t2(两位数).则 2 2 2 M=m×10+n×10+t.① 由式①知 M=(m×10+t) =m×10+2mt×10+t.② 比较式①、式②得n=2mt. 因为n是2的倍数,故n也是2的倍数,所以,n是4的倍数,且是完全平方数 故n=16或36或64. 当n=16时,得mt=8,则m=1,2,4,8,t=8,4,2,1,后二解不合条件,舍去。 故M=11664或41616. 当n=36时,得mt=18.则m=2,3,1,t=9,6,18.最后一解不合条件,舍去。 故M=43681或93636. 当n=64时,得mt=32.则m=1,2,4,8,t=32,16,8,4都不合条件,舍去。 因此,满足条件的五位数只有4个:11664,41616,43681,93636. 好题妙解】 佳题新题品味 例1、求证12345678987654321是完全平方数。 解析:12345678987654321 =11?1?11?1?10?11?1?102???111?107?1?106 ?????????17个115个113个1222222 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 224222 () ?1016?1015???10?1?1014?1013???10?1?10?1012?1011???10?1?102??10?10?1?10?10??2???8???7 1017?11015?11013?11013?110?12???10??10????107??108 10?110?110?110?110?11?1091?10???108?1?10???108 9?????????1910?11?10??108 9??109?12?()?1111111112 9∴ 12345678987654321是完全平方数。 例2(2002年北京)能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由。 解析 不能我到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数 理由如下: 偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,也就是正整数的平方被4除余0或1.若存在正整数n1,,n2,n3,n4满足ninj+2002=m;i,j=1,2,3,4,m是正整数;因为2002被4除余2,所以ninj被4除应余2或3 (1)若正整数n1,,n2,n3,n4中有两个是偶数,不妨设n1,,n2是偶数,则n1,n2+2002被4除余2,与正整数的平方被4除余0或1不符,所以正整数n1,,n2,n3,n4中至多有一个是偶数,至少有三个是奇数。 (2)在这三个奇数中,被4除的余数可分为余1或3两类,根据抽屉原则,必有两个奇数属于同一类,则它们的乘积被4除余1,与ninj被4除余2或3的结论矛盾. 综上所述,不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数。 2 中考真题欣赏 例 使得(n-19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少? 解析 若(n-19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间,则它的取值便固定了。 解:∵ n-19n+91=(n-9)+(10-n) 当n>10时,(n-10) 2 22 2 2 2 2 2 22 竞赛样题展示 () 例1.(2002年“我爱数学”夏令营)已知a1,a2,…,a2002的值都是1或一1,设m是这2002个数的两两乘积之和. (1)求m的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件; (2)求m的最小正值,并指出能达到最小正值的条件。 解析(1)(a1,a2,…,a2002) =a1+a2+…+a2002+2m=2002+2m, m?2 2 2 2 ?a1?a2???a2002?2?20022 当a1=a2=…=a2002=1或-1时,m取最大值2003001. 当a1,a2,…,a2002中恰有1001个1,1001个-1时,m取最小值-1001. (2)因为大于2002的最小完全平方数为45=2025,且a1+a2+…+a2002必为偶数,所以,当 a1+a2+…+a2002=46或-46; 即a1,a2,…,a2002中恰有1024个1,978个-1或恰有1024个-1,978个1时,m取最小值 2 1(462?2002)?57 2 例2、(2002年全国竞赛题)如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax+bx+c都是平方数(即整数的平方),证明: (1)2a、2b都是整数; (2)a、b、c都是整数,并且c是平方数。 反过来,如果(2)成立,是否对一切x的整数值,ax+bx+c的值都是平方数? 解析 (1)令x=0,得c=平方数=l; 令x=±1,得a+b+c=m,a-b+c=n,其中m、n都是整数。所以, 2a=m+n-2c,2b=m-n都是整数。 (2)如果2b是奇数2k+1(k是整数),令x=4得16a+4b+l=h,其中h是整数。 由于2a是整数,所以16a被4整除,有 16a+4b=16a+4k+2除以4余2. 而h-l=(h+l)(h-l),在h、l的奇偶性不同时,(h+l)(h-l)是奇数;在h、l的奇偶性相同时,(h+1)(h-1)能被4整除。 因此,16a+4b≠h-l.从而2b是偶数,b是整数,a=m-c-b也是整数。 在(2)成立时,ax+bx+c不一定对x的整数值都是平方数。例如,a=2,b=2,c=4,x=1时,a+bx+c =8不是平方数。 另解(2):令x=?2,得4a+2b+c=h,4a-2b+c=k,其中h、k为整数,两式相减得4b=h-k=(h+k)(h-k). 由于4b=2(2b)是偶数,所以,h、k的奇偶性相同,(h+k)(h-k)能被4整除。 因此,b是整数,a=m-c-b也是整数。 过关检测】 () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)
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