七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)

第十一讲 完全平方数和完全平方式

趣题引路】

一个四位数aabb为平方数，则a+b的值等于（ ） A.11 B.10 C.9 D.8 因为aabb=1000a+100a+10b+b =11（100a+b），

由题意可设100a+b=11c（c是正整数）， 所以，101<100a+b=11c<999， 9

经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4. 故a+b=11.选A

知识拓展】

设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m，则称n是一个完全平方数（或平方数）。常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关间题等，最常用的性质有：

（1）任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；

（2）个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；

（3）在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； （4）任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；

（5）任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； （6）相邻两个整数之积不是完全平方数；

（7）如果自然数和不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；

（8）偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数。

例1 若n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+1是3个完全平方数之和.

()

2

2

22

解析 用式子表示完全平方数，然后讨论该数的特征。

证明 设3n+1=m，显然3不整除m，因此，m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）. 若m=3k+1，则

m2?1（3k?1)2?1n???3k2?2k

332

∴ n+1=3k+2k+1=k+k+（k+1）. 若m=3k+2，则

m2?1（3k?2)2?1n???3k2?4k?1.

332222

∴ n+1=3k+4k+2 =k+（k+1）+（k+1）. 故n+1是3个完全平方数之和.

例2.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数。 解析 引入参数，利用奇偶分析求解. 解 设所求正整数为x，则 x+100=m x+168=n

其中m，n都是正整数 ②-①得n-m=68，

即 （n-m）（n+m）=2

2

2

2

22

2

2

2

2

?

17

因n-m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n-m，n+m都是偶数.注意到0

例3.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=5-3，16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由. 解析 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+ 1=（k+1）-k（k=1，2…）.所以大于1的奇正整数都是“智慧数”。

对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）-（k-1）（k=2，3…）.即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”。

对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3…），设4k+2=x-y=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾.所以不存在自然数x，y，使得x-y=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数”

()

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”.

因为1998=（1+3×665）+2，4?（665+1）=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667.

例4.（2003年太原市竞赛题）已知：五位数abcde满足下列条件： （1）它的各位数字均不为零； （2）它是一个完全平方数；

（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，千位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数。 试求出满足上述条件的所有五位数。

解折 设M=abcde，且a=m（一位数），bc=n（两位数），de?t2（两位数）.则

2

2

2

M=m×10+n×10+t.① 由式①知 M=（m×10+t） =m×10+2mt×10+t.② 比较式①、式②得n=2mt.

因为n是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n是4的倍数，且是完全平方数 故n=16或36或64.

当n=16时，得mt=8，则m=1，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去。 故M=11664或41616.

当n=36时，得mt=18.则m=2，3，1，t=9，6，18.最后一解不合条件，舍去。 故M=43681或93636.

当n=64时，得mt=32.则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去。 因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636.

好题妙解】

佳题新题品味

例1、求证12345678987654321是完全平方数。 解析：12345678987654321

=11?1?11?1?10?11?1?102???111?107?1?106 ?????????17个115个113个1222222

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

224222

()

?1016?1015???10?1?1014?1013???10?1?10?1012?1011???10?1?102??10?10?1?10?10??2???8???7

1017?11015?11013?11013?110?12???10??10????107??108 10?110?110?110?110?11?1091?10???108?1?10???108 9?????????1910?11?10??108 9??109?12?（）?1111111112

9∴ 12345678987654321是完全平方数。

例2（2002年北京）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由。

解析 不能我到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数 理由如下：

偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1.若存在正整数n1，，n2，n3，n4满足ninj+2002=m；i，j=1，2，3，4，m是正整数；因为2002被4除余2，所以ninj被4除应余2或3

（1）若正整数n1，，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，，n2是偶数，则n1，n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数。 （2）在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的结论矛盾.

综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数。

2

中考真题欣赏

例 使得（n-19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？

解析 若（n-19n+91）处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了。 解：∵ n-19n+91=（n-9）+（10-n） 当n>10时，（n-10）10时（n-19n+19）不会成为完全平方数 ∴ 当n?10时，（n-19n+91）才是完全平方数 经试算，n=9和n=10时，n-19n+91是完全平方数。 所以满足题意的值有2个。

2

22

2

2

2

2

2

22

竞赛样题展示

()

例1.（2002年“我爱数学”夏令营）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或一1，设m是这2002个数的两两乘积之和.

（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； （2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件。 解析（1）（a1，a2，…，a2002） =a1+a2+…+a2002+2m=2002+2m， m?2

2

2

2

?a1?a2???a2002?2?20022

当a1=a2=…=a2002=1或-1时，m取最大值2003001.

当a1，a2，…，a2002中恰有1001个1，1001个-1时，m取最小值-1001.

（2）因为大于2002的最小完全平方数为45=2025，且a1+a2+…+a2002必为偶数，所以，当 a1+a2+…+a2002=46或-46；

即a1，a2，…，a2002中恰有1024个1，978个-1或恰有1024个-1，978个1时，m取最小值

2

1（462?2002)?57 2

例2、（2002年全国竞赛题）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：

（1）2a、2b都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数。

反过来，如果（2）成立，是否对一切x的整数值，ax+bx+c的值都是平方数？ 解析 （1）令x=0，得c=平方数=l；

令x=±1，得a+b+c=m，a-b+c=n，其中m、n都是整数。所以， 2a=m+n-2c，2b=m-n都是整数。

（2）如果2b是奇数2k+1（k是整数），令x=4得16a+4b+l=h，其中h是整数。 由于2a是整数，所以16a被4整除，有 16a+4b=16a+4k+2除以4余2.

而h-l=（h+l）（h-l），在h、l的奇偶性不同时，（h+l）（h-l）是奇数；在h、l的奇偶性相同时，（h+1）（h-1）能被4整除。

因此，16a+4b≠h-l.从而2b是偶数，b是整数，a=m-c-b也是整数。

在（2）成立时，ax+bx+c不一定对x的整数值都是平方数。例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，a+bx+c =8不是平方数。

另解（2）：令x=?2，得4a+2b+c=h，4a-2b+c=k，其中h、k为整数，两式相减得4b=h-k=（h+k）（h-k）. 由于4b=2（2b）是偶数，所以，h、k的奇偶性相同，（h+k）（h-k）能被4整除。 因此，b是整数，a=m-c-b也是整数。 过关检测】

()

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2