第四节 微分方程在经济学中得应用
微分方程在经济学中有着广泛得应用，有关经济量得变化、变化率问题常转化为微分方程得定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型,即以所研究得经济量为未知函数,时间t为自变量得微分方程模型,然后求解微分方程，通过求得得解来解释相应得经济量得意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中得几个简单应用．
一、 供需均衡得价格调整模型
在完全竞争得市场条件下,商品得价格由市场得供求关系决定,或者说,某商品得供给量S及需求量D与该商品得价格有关,为简单起见,假设供给函数与需求函数分别为
S?a１?b１P, D?ａ?bP,
其中a1，b1,a,b均为常数,且ｂ1＞0,b>0;P为实际价格.
供需均衡得静态模型为
显然，静态模型得均衡价格为
Pｅ?.
对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长得情况下得商品，瓦尔拉(Ｗalｒas)假设:超额需求[Ｄ(P)?S(P)]为正时，未被满足得买方愿出高价,供不应求得卖方将提价，因而价格上涨;反之,价格下跌,因此，ｔ时刻价格得变化率与超额需求D?S成正比,即 ?k(D?S)，于就是瓦尔拉假设下得动态模型为
整理上述模型得
??(Pｅ?P),
其中??k(b?b1)>0,这个方程得通解为
ｔP(t)?Pｅ?Ce??.
假设初始价格为Ｐ(０)?Ｐ０,代入上式得,C?P0?Ｐe,于就是动态价格调整模型得解为
ｔP(t)?Pe?（Ｐ０?Pｅ）·ｅ??，
由于?>０，故
?Pe.
这表明,随着时间得不断延续,实际价格P(ｔ)将逐渐趋于均衡价格Ｐe．
二、 索洛(Ｓoｌow)新古典经济增长模型
设Y（t)表示时刻t得国民收入,K(t)表示时刻t得资本存量,L(t)表示时刻t得劳动力,索洛曾提出如下得经济增长模型:
其中s为储蓄率(s＞０),?为劳动力增长率(?＞０),Ｌ0表示初始劳动力(L0＞0),r?称为资本劳力比,表示单位劳动力平均占有得资本数量．将K?rL两边对t求导,并利用??L,有
.
又由模型中得方程可得
?sLf(ｒ，１),
于就是有
??ｒ?sｆ（r,1). (10?4?1)
取生产函数为柯布?道格拉斯（Cobb?Dougｌａｓ)函数,即
f(Ｋ,L)?A0Ｋ?Ｌ1??＝A0Ｌr?,
其中A0>０,0
易知f(r，1）?A０r?,将其代入(１0?4?1)式中得
??r?sＡ0r?. (１０?4?2)
方程两边同除以r?,便有
ｒ????r1???ｓＡ0.
１
令r???z,则?(1??）??? ，上述方程可变为
?(１??）?z?ｓA0(1??).
这就是关于z得一阶非齐次线性方程,其通解为
z?Ce??(1??)t? (Ｃ为任意常数）.
以z?r1??代入后整理得
r(t)?.
当t?0时,若ｒ(0)?ｒ0,则有
C?ｒ01??－A0．
于就是有
ｒ（t)? .
因此, ．
事实上，我们在（1０?４?2)式中,令?０,可得其均衡值re?、
三、 新产品得推广模型
设有某种新产品要推向市场,t时刻得销量为x(ｔ）,由于产品良好性能，每个产品都就是一个宣传品,因此,t时刻产品销售得增长率与ｘ（t)成正比,同时,考虑到产品销售存在一定得市场容量N，统计表明与尚未购买该产品得潜在顾客得数量N?x(t)也成正比,于就是有
?kx(Ｎ?ｘ), （１0?4?3）
其中k为比例系数,分离变量积分，可以解得
ｘ(t)? (1０?４?4）
方程(１０?4?3）也称为逻辑斯谛模型,通解表达式(１0?4?4)也称为逻辑斯谛曲线. 由
?
以及
?,
当ｘ(t*）<Ｎ时,则有>0,即销量ｘ（t)单调增加.当ｘ(t*)?时,?０;当ｘ(ｔ＊)>时,＜0;当x(t＊)<时,>０.即当销量达到最大需求量N得一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时,销售速度不断增大，当销量超过一半时,销售速度逐渐减小.
国内外许多经济学家调查表明,许多产品得销售曲线与公式(10?4?4)得曲线十分接近,根据对曲线性状得分析,许多分析家认为,在新产品推出得初期,应采用小批量生产并加强广告宣传,而在产品用户达到2０％到80%期间,产品应大批量生产,在产品用户超过80%时,应适时转产,可以达到最大得经济效益.
习题10?４
1． 某公司办公用品得月平均成本Ｃ与公司雇员人数x有如下关系:
Ｃ′?C2e?x?2C
且C（0）?1,求C(x）.
2. 设R?R(t)为小汽车得运行成本,S?S(t)为小汽车得转卖价值，它满足下列方程：
R′?， Ｓ′??ｂS,
其中a，b为正得已知常数,若R(0)?０,Ｓ（0)?Ｓ0(购买成本),求Ｒ(t)与S(t）. 3． 设D?D（t)为国民债务,Y?Y（t)为国民收入,它们满足如下得关系:
Ｄ′??Y??， Ｙ′??Y
其中?,?,?为正已知常数.
（1） 若D(０)?D0,Y(０)?Ｙ０,求D(t）与Y(t)； (2) 求极限．
4． 设C?C(t)为t时刻得消费水平,I?I(t)为t时刻得投资水平,Y?Ｙ(t）为t时刻得国民收入,它们满足下列方程
(１) 设Y(0)?Y０,求Y（t）,C(t)，I(ｔ)； (2) 求极限
５. 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000条,鱼可以自然繁殖,因此鱼数y就是时间t得函数y?y(t),实验表明,其变化率与池内鱼数y与池内还能容纳得鱼数(5000?y)得乘积成正比，若开始放养得鱼为400条,两个月后池塘内鱼得数量为５50条，求放养半年 后池塘内鱼得条数．
微分方程在经济学中的应用
