朔方的雪花在纷飞之后,却永远如粉,如沙,他们决不粘连,撒在屋上,地上,枯草上,就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的,因为屋里居人的火的温热。别的,在晴天之下,旋风忽来,便蓬勃地奋飞,在日光中灿灿地生光,如包藏火焰的大雾,旋转而且升腾,弥漫太空;使太空旋转而且升腾地闪烁。6.3 数学归纳法(一)
一、基础达标
1.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N)时,该命题成立,那么可推得
*
n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题成立,那么可推导出
( )
A.当n=6时命题不成立 B.当n=6时命题成立 C.当n=4时命题不成立 D.当n=4时命题成立 答案 B
2.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则
( )
A.该命题对于n>2的自然数n都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k取值无关 D.以上答案都不对 答案 B
解析 由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立.且n=2,故对所有的正偶数都成立.
1
3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于
2
( )
A.1 B.2 C.3 D.0 答案 C
解析 因为是证凸n边形,所以应先验证三角形,故选C. 111*
4.若f(n)=1+++…+(n∈N),则n=1时f(n)是
232n+1
( )
1
A.1 B. 3
11
C.1++D.以上答案均不正确
23答案 C
5.用数学归纳法证明1+2+2+…+2
2
n-1
=2-1(n∈N)的过程中,第二步假设当n=k(kn*
朔方的雪花在纷飞之后,却永远如粉,如沙,他们决不粘连,撒在屋上,地上,枯草上,就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的,因为屋里居人的火的温热。别的,在晴天之下,旋风忽来,便蓬勃地奋飞,在日光中灿灿地生光,如包藏火焰的大雾,旋转而且升腾,弥漫太空;使太空旋转而且升腾地闪烁。∈N)时等式成立,则当n=k+1时应得到________. 答案 1+2+2+…+2
2
*
k-1
+2=2
kk+1
-1
解析 由n=k到n=k+1等式的左边增加了一项. 6.已知f(n)=
111*
++…+(n∈N),则f(k+1)=________. n+1n+23n-1
1111
答案 f(k)+++-
3k3k+13k+2k+1
1?2?1??1??1??*
7.用数学归纳法证明?1-??1-??1-?…?1-=(n∈N). ??3??4??5??n+2?n+2
1222
证明 (1)当n=1时,左边=1-=,右边==,等式成立.
331+23(2)假设当n=k(k≥1,k∈N)时等式成立,即
*
?1-1??1-1??1-1?…?1-1?=2,
?3??4??5??k+2?k+2????????
当n=k+1时,
k+?1-1??1-1??1-1?…?1-1?·?1-1?=2?1-1?=?3??4??5??k+2??k+3?k+2?k+3?k+k+????????????
22
=k+3k+
,
+2
=
所以当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可知,对于任意n∈N等式都成立. 二、能力提升
8.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2·1·3·…·(2n-1)(n∈N),从k到k+1左端需要增乘的代数式为
( )
A.2k+1 B.2(2k+1) C.
2k+12k+3
D. k+1k+1
n*
*
答案 B
解析 n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)]·[(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·(2k+1)·2,∴应增乘2(2k+1). 1111
9.已知f(n)=+++…+2,则
nn+1n+2n( )
11
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+
23
朔方的雪花在纷飞之后,却永远如粉,如沙,他们决不粘连,撒在屋上,地上,枯草上,就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的,因为屋里居人的火的温热。别的,在晴天之下,旋风忽来,便蓬勃地奋飞,在日光中灿灿地生光,如包藏火焰的大雾,旋转而且升腾,弥漫太空;使太空旋转而且升腾地闪烁。111
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++
234112
C.f(n)中共有n-n项,当n=2时,f(2)=+ 231112
D.f(n)中共有n-n+1项,当n=2时,f(2)=++
234答案 D
解析 观察分母的首项为n,最后一项为n,公差为1, ∴项数为n-n+1.
10.以下用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n+n(n∈N)”的过程中的错误为________.
答案 缺少步骤(1),没有递推的基础
证明 假设当n=k(k∈N)时等式成立,即2+4+…+2k=k+k,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k+k+2(k+1)=(k+1)+(k+1),即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何n∈N等式都成立. 11.用数学归纳法证明:
1-2+3-4+…+(-1)
2
2
2
2*2
2
*
2
2
*
2
2
n-1
·n=(-1)
2n-1
·
nn+
2
.
证明 (1)当n=1时,左边=1, 右边=(-1)
1-1
1×2×=1,结论成立.
2
(2)假设当n=k时,结论成立. 即1-2+3-4+…+(-1)那么当n=k+1时, 1-2+3-4+…+(-1)=(-1)
k-1
2
2
2
2
2
2
2
2
k-12
kk+
k=(-1)k-1·
2
,
k-12
k+(-1)k(k+1)2
k2
·
kk+
2
+(-1)(k+1)
-k+2k+2k=(-1)·(k+1)
2=(-1)·
kk+
2
k+
=(-1)
k+1-1
·k+
2
k+
+1]
.
即n=k+1时结论也成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数n都有此结论成立.
12.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N),Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. (1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,
*
2017_2024学年高中数学第六章推理与证明6-3数学归纳法1分层训练湘教版选修2_2



