朔方的雪花在纷飞之后，却永远如粉，如沙，他们决不粘连，撒在屋上，地上，枯草上，就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的，因为屋里居人的火的温热。别的，在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞，在日光中灿灿地生光，如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾，弥漫太空；使太空旋转而且升腾地闪烁。6.3 数学归纳法(一)
一、基础达标
1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N)时，该命题成立，那么可推得
*
n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出
( )
A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立 C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立 答案 B
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则
( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案 B
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
1
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于
2
( )
A．1 B．2 C．3 D．0 答案 C
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C. 111*
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，则n＝1时f(n)是
232n＋1
( )
1
A．1 B. 3
11
C．1＋＋D．以上答案均不正确
23答案 C
5．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋2
2
n－1
＝2－1(n∈N)的过程中，第二步假设当n＝k(kn*
朔方的雪花在纷飞之后，却永远如粉，如沙，他们决不粘连，撒在屋上，地上，枯草上，就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的，因为屋里居人的火的温热。别的，在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞，在日光中灿灿地生光，如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾，弥漫太空；使太空旋转而且升腾地闪烁。∈N)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 答案 1＋2＋2＋…＋2
2
*
k－1
＋2＝2
kk＋1
－1
解析 由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f(n)＝
111*
＋＋…＋(n∈N)，则f(k＋1)＝________. n＋1n＋23n－1
1111
答案 f(k)＋＋＋－
3k3k＋13k＋2k＋1
1?2?1??1??1??*
7．用数学归纳法证明?1－??1－??1－?…?1－＝(n∈N)． ??3??4??5??n＋2?n＋2
1222
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
331＋23(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时等式成立，即
*
?1－1??1－1??1－1?…?1－1?＝2，
?3??4??5??k＋2?k＋2????????
当n＝k＋1时，
k＋?1－1??1－1??1－1?…?1－1?·?1－1?＝2?1－1?＝?3??4??5??k＋2??k＋3?k＋2?k＋3?k＋k＋????????????
22
＝k＋3k＋
，
＋2
＝
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N等式都成立． 二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·3·…·(2n－1)(n∈N)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为
( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.
2k＋12k＋3
D. k＋1k＋1
n*
*
答案 B
解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)． 1111
9．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则
nn＋1n＋2n( )
11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
23
朔方的雪花在纷飞之后，却永远如粉，如沙，他们决不粘连，撒在屋上，地上，枯草上，就是这样。屋上的雪是早已就有消化了的，因为屋里居人的火的温热。别的，在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞，在日光中灿灿地生光，如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾，弥漫太空；使太空旋转而且升腾地闪烁。111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
234112
C．f(n)中共有n－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 231112
D．f(n)中共有n－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
234答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n，公差为1， ∴项数为n－n＋1.
10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n＋n(n∈N)”的过程中的错误为________．
答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础
证明 假设当n＝k(k∈N)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N等式都成立． 11．用数学归纳法证明：
1－2＋3－4＋…＋(－1)
2
2
2
2*2
2
*
2
2
*
2
2
n－1
·n＝(－1)
2n－1
·
nn＋
2
.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)
1－1
1×2×＝1，结论成立．
2
(2)假设当n＝k时，结论成立． 即1－2＋3－4＋…＋(－1)那么当n＝k＋1时， 1－2＋3－4＋…＋(－1)＝(－1)
k－1
2
2
2
2
2
2
2
2
k－12
kk＋
k＝(－1)k－1·
2
，
k－12
k＋(－1)k(k＋1)2
k2
·
kk＋
2
＋(－1)(k＋1)
－k＋2k＋2k＝(－1)·(k＋1)
2＝(－1)·
kk＋
2
k＋
＝(－1)
k＋1－1
·k＋
2
k＋
＋1]
.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
*
2017_2024学年高中数学第六章推理与证明6-3数学归纳法1分层训练湘教版选修2_2
