中考 2020
12233
设P(t，－t＋t＋3)，则R(t，－t＋3)，
333122331
∴PR＝－t＋t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t，
3333
1323333293
则S△PCD＝S△PRC－S△PRD＝·PR·[xR－(xR－xD)]＝－t＋t＝－(t－)＋，
262628333315
∵0＜t<33，∴当t＝时，S△PCD取得最大值，此时P(，)，
224
3315315
将P(，)向左平移3个单位，得P′(，)，连接AP′交y轴于点N，过点N作
2424
NM⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A运动，所走的路径最短，即最短路
径的长为PM＋MN＋AN.
??3m?n?0315?设直线AP′的解析式为y＝mx＋n，将A(－3，0)，P′(，)代入，得： ?315 24
m?n?,?4?25?m?3??6, 解得?5?n??2?∴直线AP′的解析式为y＝
5555
3x＋， 令x＝0，得y＝，故N(0，)， 6222
∵AP′＝（
31523372
＋3）＋（）＝， MN＝3， 244
337
点Q经过的最短路径等于PM＋MN＋AN＝AP′＋MN＝＋3.
4(3)∵∠CAO＝60°，OA＝OA1， ∴△AA1O为等边三角形， ∴∠C1OB＝30°，
332
∴C1(3，)， ∵E(3，4)，A(－3，0)，∴直线AE的解析式为：y＝3x＋2，
22322
设A′(t，3t＋2)，则E′(t＋23，3t＋6)，
33
A′E′2＝28，A′C12＝t2－
7
37722
3t＋7，E′C1＝t＋73t＋21， 33
72772
①当A′C1＝E′C1时，t－3t＋7＝t＋73t＋21，
333解得t＝－
33
，故E′(3，5)； 22
中考 2020
7273±39
②当A′E′＝A′C1时，28＝t－3t＋7，解得t＝，
332∵t＞－3， ∴t＝
3＋3953＋39
，故E′(，7＋13)； 22
72
③当A′E′＝E′C1时，t＋73t＋21＝28，
3
－33±39－33＋393＋39
解得t＝，∵t＞－3，∴t＝，故E′(，3＋13)．
222综上，所有符合条件的点E′的坐标为(＋13)．
353＋393＋39
3，5)或(，7＋13)或(，3222
类型四 抛物线形问题
例1、已知平面直角坐标系xOy（如图1），直线y?x?m的经过点A(?4,0)和点B(n,3). （1）求m、n的值；
（2）如果抛物线y?x?bx?c经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin?ABP的值；
（3）设点Q在直线y?x?m上，且在第一象限内，直线y?x?m与y轴的交点为点D，如果?AQO??DOB，求点Q的坐标.
y 2【答案】：（1）n??1 （2）sin?ABP?10 10（3）（4,8）O x 【解析】：（1） ∵直线y?x?m的经过点A(?4,0)
∴?4?m?0 ∴m?4
∵直线y?x?m的经过点B(n,3) ∴n?4?3 ∴n??1
（2）由可知点B的坐标为(?1,3)
图1
中考 2020
∵抛物线y?x?bx?c经过点A、B
2 ∴??16?4b?c?0
?1?b?c?3∴b?6， c?8
∴抛物线y?x?bx?c的表达式为y?x?6x?8 ∴抛物线y?x?6x?8的顶点坐标为P(?3,?1) ∴AB?32,AP?∴AB2?BP2?PB2 ∴?PAB?90? ∴sin?ABP?2222,PB?25
AP PB10 10∴sin?ABP?（3）过点Q作QH?x轴，垂足为点H，则QH∥y轴 ∵?AQO??DOB,?OBD??QBO
∴△OBD∽△QBO
∴
OBDB? QBOB∵直线y?x?4与y轴的交点为点D ∴点D的坐标为(0,4),OD?4 又OB?10，DB?2
∴QB?52，DQ?42 ∵AB?32
∴AQ?82,DQ?42 ∵QH∥y轴
中考 2020
∴
ODAD? QHAQ∴
442 ?QH82∴QH?8
即点Q的纵坐标是8 又点Q在直线y?x?4上 点Q的坐标为(4,8)
例2、如图在直角坐标平面内，抛物线y?ax?bx?3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结AD、DC，求?ACD的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
第2题图
【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）P1(,?备用图
26518)或P2(2,?2) 52【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线y?ax?bx?3上
∴??a?b?3?0?a?1，解得?
?9a?3b?3?0?b??2中考 2020
∴抛物线的表达式为y?x?2x?3，顶点D的坐标是（1，-4） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴AC?32，CD?25，AD?∴CD2?AC2?AD2 ∴?CAD?90?
22
11?AC?AD??32?2?3. 22ADAC（3）∵?CAD??AOB?90?，??2，
BOAO∴S?ACD?∴△CAD∽△AOB，∴?ACD??OAB
∵OA=OC，?AOC?90? ∴?OAC??OCA?45?
∴?OAC??OAB??OCA??ACD，即?BAC??BCD 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则?POC也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是y?2x?6，设P(t,2t?6)（0?t?3） 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH?t，PH?6?2t
①当?POC??ABC时,由tan?POC?tan?ABC得PH?AO，
OHBO∴
6?2t6618?3，解得t?， ∴P(,?) 1t555②当?POC??ACB时,由tan?POC?tan?ACB?tan45??1得PH?1，
OH6?2t?1，解得t?2，∴P2(2,?2) t618综上得P)或P2(2,?2) 1(,?55∴
例3、已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)． （1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC、AB，求?BAC的正切值；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG?AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．
2020年中考数学二轮复习题型突破四
