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2020年中考数学二轮复习题型突破四

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中考 2020

12233

设P(t,-t+t+3),则R(t,-t+3),

333122331

∴PR=-t+t+3-(-t+3)=-t2+3t,

3333

1323333293

则S△PCD=S△PRC-S△PRD=·PR·[xR-(xR-xD)]=-t+t=-(t-)+,

262628333315

∵0<t<33,∴当t=时,S△PCD取得最大值,此时P(,),

224

3315315

将P(,)向左平移3个单位,得P′(,),连接AP′交y轴于点N,过点N作

2424

NM⊥抛物线对称轴于点M,连接PM,点Q沿P→M→N→A运动,所走的路径最短,即最短路

径的长为PM+MN+AN.

??3m?n?0315?设直线AP′的解析式为y=mx+n,将A(-3,0),P′(,)代入,得: ?315 24

m?n?,?4?25?m?3??6, 解得?5?n??2?∴直线AP′的解析式为y=

5555

3x+, 令x=0,得y=,故N(0,), 6222

∵AP′=(

31523372

+3)+()=, MN=3, 244

337

点Q经过的最短路径等于PM+MN+AN=AP′+MN=+3.

4(3)∵∠CAO=60°,OA=OA1, ∴△AA1O为等边三角形, ∴∠C1OB=30°,

332

∴C1(3,), ∵E(3,4),A(-3,0),∴直线AE的解析式为:y=3x+2,

22322

设A′(t,3t+2),则E′(t+23,3t+6),

33

A′E′2=28,A′C12=t2-

7

37722

3t+7,E′C1=t+73t+21, 33

72772

①当A′C1=E′C1时,t-3t+7=t+73t+21,

333解得t=-

33

,故E′(3,5); 22

中考 2020

7273±39

②当A′E′=A′C1时,28=t-3t+7,解得t=,

332∵t>-3, ∴t=

3+3953+39

,故E′(,7+13); 22

72

③当A′E′=E′C1时,t+73t+21=28,

3

-33±39-33+393+39

解得t=,∵t>-3,∴t=,故E′(,3+13).

222综上,所有符合条件的点E′的坐标为(+13).

353+393+39

3,5)或(,7+13)或(,3222

类型四 抛物线形问题

例1、已知平面直角坐标系xOy(如图1),直线y?x?m的经过点A(?4,0)和点B(n,3). (1)求m、n的值;

(2)如果抛物线y?x?bx?c经过点A、B,该抛物线的顶点为点P,求sin?ABP的值;

(3)设点Q在直线y?x?m上,且在第一象限内,直线y?x?m与y轴的交点为点D,如果?AQO??DOB,求点Q的坐标.

y 2【答案】:(1)n??1 (2)sin?ABP?10 10(3)(4,8)O x 【解析】:(1) ∵直线y?x?m的经过点A(?4,0)

∴?4?m?0 ∴m?4

∵直线y?x?m的经过点B(n,3) ∴n?4?3 ∴n??1

(2)由可知点B的坐标为(?1,3)

图1

中考 2020

∵抛物线y?x?bx?c经过点A、B

2 ∴??16?4b?c?0

?1?b?c?3∴b?6, c?8

∴抛物线y?x?bx?c的表达式为y?x?6x?8 ∴抛物线y?x?6x?8的顶点坐标为P(?3,?1) ∴AB?32,AP?∴AB2?BP2?PB2 ∴?PAB?90? ∴sin?ABP?2222,PB?25

AP PB10 10∴sin?ABP?(3)过点Q作QH?x轴,垂足为点H,则QH∥y轴 ∵?AQO??DOB,?OBD??QBO

∴△OBD∽△QBO

OBDB? QBOB∵直线y?x?4与y轴的交点为点D ∴点D的坐标为(0,4),OD?4 又OB?10,DB?2

∴QB?52,DQ?42 ∵AB?32

∴AQ?82,DQ?42 ∵QH∥y轴

中考 2020

ODAD? QHAQ∴

442 ?QH82∴QH?8

即点Q的纵坐标是8 又点Q在直线y?x?4上 点Q的坐标为(4,8)

例2、如图在直角坐标平面内,抛物线y?ax?bx?3与y轴交于点A,与x轴分别交于点B(-1,0)、点C(3,0),点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)联结AD、DC,求?ACD的面积;

(3)点P在直线DC上,联结OP,若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.

第2题图

【答案】(1)(1,-4)(2)3(3)P1(,?备用图

26518)或P2(2,?2) 52【解析】:(1) 点B(-1,0)、C(3,0)在抛物线y?ax?bx?3上

∴??a?b?3?0?a?1,解得?

?9a?3b?3?0?b??2中考 2020

∴抛物线的表达式为y?x?2x?3,顶点D的坐标是(1,-4) (2)∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4) ∴AC?32,CD?25,AD?∴CD2?AC2?AD2 ∴?CAD?90?

22

11?AC?AD??32?2?3. 22ADAC(3)∵?CAD??AOB?90?,??2,

BOAO∴S?ACD?∴△CAD∽△AOB,∴?ACD??OAB

∵OA=OC,?AOC?90? ∴?OAC??OCA?45?

∴?OAC??OAB??OCA??ACD,即?BAC??BCD 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ,且△ABC为锐角三角形 则?POC也为锐角三角形,点P在第四象限

由点C(3,0),D(1,-4)得直线CD的表达式是y?2x?6,设P(t,2t?6)(0?t?3) 过P作PH⊥OC,垂足为点H,则OH?t,PH?6?2t

①当?POC??ABC时,由tan?POC?tan?ABC得PH?AO,

OHBO∴

6?2t6618?3,解得t?, ∴P(,?) 1t555②当?POC??ACB时,由tan?POC?tan?ACB?tan45??1得PH?1,

OH6?2t?1,解得t?2,∴P2(2,?2) t618综上得P)或P2(2,?2) 1(,?55∴

例3、已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0). (1)求抛物线的解析式;

(2)联结AC、BC、AB,求?BAC的正切值;

(3)点P是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P作PG?AP交y轴于点G,当点G在点A的上方,且△APG与△ABC相似时,求点P的坐标.

2020年中考数学二轮复习题型突破四

中考202012233设P(t,-t+t+3),则R(t,-t+3),333122331∴PR=-t+t+3-(-t+3)=-t2+3t,33331323333293则S△PCD=S△PRC-S△PRD=·PR·[xR-(xR-xD)]=-t+t=-(t-)+,26
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