中考 2020
类型四 二次函数与特殊三角形判定问题
例1、如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，
2
C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
?b??2a??1?a??1??【解析】解：(1)依题意，得?a?b?c?0，解得?b??2,
?c?3?c?3???∴抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3. ∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得，
2
??3m?n?0?m?1,解得?, ?n?3n?3??∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接MA， ∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点． 把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
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∴M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC＝18，
2
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
① 若B为直角顶点，则BC＋PB＝PC，即18＋4＋t＝t－6t＋10， 解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC＋PC＝PB，即18＋t－6t＋10＝4＋t，解得t＝4； ③若P为直角顶点，则PB＋PC＝BC，即4＋t＋t－6t＋10＝18， 3＋173－17
解得t1＝，t2＝.
22
3＋17
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，
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P4(－1，
3－17
)． 2
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例2、如图，抛物线y＝－x＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称
55轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)． (1)求点A，B的坐标；
(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．
第2题
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4224
【解析】解：(1)令y＝－x＋x－4＝0，解得x1＝1，x2＝5，
55∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点A作AP∥BC，与抛物线交于点P，则S△PBC＝S△ABC，
第1题解图 第2题解图①第2题解图② 4224
当x＝0时，y＝－x＋x－4 ＝－4，
55∴点C的坐标为(0，－4)，
设过点B，C两点的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
4??b??4?k?则有?,解得?5,
5k?b?0???b??44
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
5
44
由于PA∥BC，设AP的解析式为y＝x＋m，代入点A(1，0)，解得m＝－，
5544
∴直线AP的解析式为y＝x－，
55
44?y?x??x2?4?x?1???55,解得： ?1联立方程组得?,?12,
424?y1?0?y2??y??x2?x?45??55?12
∴P点的坐标为(4，)．
5
(3)△MDE能成为等腰直角三角形，理由： 42244162
∵抛物线y＝－x＋x－4＝－(x－3)＋，
5555∴对称轴是直线x＝3. ∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立； ②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
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③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线PC与对称轴交于点N， ∵EM⊥DM，MN⊥AM， ∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°， ∴∠MDA＝135°. ∵∠MED＝45°， ∴∠NEM＝135°， ∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
??EMN??DMA?, 在△ADM与△NEM中， ?EM?DM??ADM??NEM?∴△ADM≌△NEM(ASA)． ∴MN＝MA＝2， ∴N(3，2)．
设直线PC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得：
?3k?b?2?k?2,解得： ?, ?b??4b??4??∴直线PC的解析式为y＝2x－4.
422477将y＝2x－4代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－x＋x－4，解得：x＝0或x＝，∴P(，
55223)．
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综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)．
2
例3、如图①，抛物线y＝ax＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO. (1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N，交BC于点M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开
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始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的2倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．
第3题图
【解析】 解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋4与y轴交于点C， ∴点C的坐标为(0，4)． ∵CO＝BO＝2AO，
∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)， 将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式得
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1?a???4a?2b?4?0?,解得?2, ??16a?4b?4?0??b?112
∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4.
2
(2)∵点A(－2，0)，点B(4，0)，点C(0，4)，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋4，直线BC的解析式为y＝－x＋4. 12
设点Q的坐标为(q，－q＋q＋4)，
2
∵QE∥AC，过点E作EF⊥QM于点F，如解图，
第3题解图
EFAO1QEAC则＝＝，＝＝5， QFOC2EFAO
2020年中考数学二轮复习题型突破四
