2024年
【2024最新】精选高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形
第6讲 正弦定理与余弦定理分层演练 文
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A． C．
B.4 D.2
ππ解析：选C.易知cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
2．(2024·宝鸡质量检测(一))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，则sin A＝( )
A． C．
B.4 D.6
11解析：选B.因为＝，即＝，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，所以sin A＝，故选B.
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B·cos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，所以A＝，故选B.
2024年
4．(2024·南昌第一次模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A． C．1
B．4 D．2
1解析：选A.由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.故选A.
5．(2024·云南第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2 B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S△ABC＝( )
A． C．
B．3 D．6
解析：选B.由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac①，又B＝，所以a2＋c2＝b2②，联立①②解得a＝c＝，所以S△ABC＝××＝3，故选B.
6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为( ) A． C．
B.D.
33 23
解析：选B.在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因为AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin 60°＝，即BC边上的高为.
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理
2024年
cos C＝，得－＝，解得c＝4.
答案：4
8．(2024·贵阳检测)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tan A＝________．
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，所以c＝b，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝，所以tan A＝＝.
答案：23
9．(2024·广西三市第一次联考)设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________．
解析：由a2sin C＝4sin A得ac＝4，由(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cos B＝，则sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.
答案：2 10．(2024·洛阳第一次统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．
解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝.在△ACD中，AD＝＝4，＝，sin A＝＝.在△ABC中，＝，BC＝＝4.
答案：4 三、解答题
11．(2024·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.
3(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积S. 解：(1)因为asin B＋bcos A＝0， 所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 即sin B(sin A＋cos A)＝0，
由于B为三角形的内角，所以sin A＋cos A＝0， 所以sin＝0，而A为三角形的内角， 所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A， 即20＝c2＋4－4c，
解得c＝－4(舍去)或c＝2， 所以S＝bcsin A＝×2×2×＝2.
12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2ccos2＝b.
(1)求证：2(a＋c)＝3b； (2)若cos B＝，S＝，求b.
解：(1)证明：由已知得，a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b. 在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则
acos C＋ccos A＝b.
所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b. (2)因为cos B＝，所以sin B＝. 因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8.
又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
2024年
2acos2＋2024年
2(a＋c)＝3b，
所以b2＝－16×.所以b＝4.
1．(2024·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值． 解：(1)因为asin B＝－bsin， 所以由正弦定理得sin A＝－sin， 即sin A＝－sin A－cos A， 化简得tan A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为A＝， 所以sin A＝，
由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c， 由正弦定理得sin C＝＝.
2．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，A＝acos C.
(1)求角C；
(2)若c＝，且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积． 解：(1)根据＝，可得csin A＝asin C，
又因为csin A＝acos C，所以asin C＝acos C， 所以sin C＝cos C，所以tan C＝＝，
c.若csin
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