导航教育独家经典讲义
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1 ?bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界
项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?a?0当a1?0，d?0，由?n可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd，
S奇S偶?an. an?1，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?
1
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S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?S奇偶?an，
SS?n偶n?1. 2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1a?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1n. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.
?na1(q前n项和：S??1)n???a1?1?qn??1?q(q?1)（要注意！）
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Snn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为q. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a12?11n?，a122a2?……?2nan?2n?5，求an
解 n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11122a2?……?2n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：1n?1?14(n?1)2nan?2，∴an?2，∴an???2n?1(n?2) ［练习］数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an
注意到aSn?1n?1?Sn?1?Sn，代入得
S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n；
2
①
②
Sn?4n 导航教育独家经典讲义
n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1
（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an
ann?1解
3aa1a2a312n?1，∴n?又a1?3，∴an?·……n?·……n. a1na1a2an?123n（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
?a3?a2?f(3)??n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??a2?a1?f(2)∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式
n?1?an?1?n?2?，求an（
an?1n3?1??2）
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?ddd??，c为公比的等比数列 ，∴?an??是首项为a1?c?1c?1c?1??∴an?dd?n?1d?n?1d??，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?c?1?c?1?c?1?c?1?（5）倒数法 如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?2a1an22?an?
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∴an?( 附：
2n?1
公式法、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n解：由
n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1???????????……??∴???????? ??ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1???1?11???? d?a1an?1?［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1an?……?……，Sn?2?
n?1（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由
Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
4
②
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x?1时，Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2［练习］已知f(x)?，则 21?x?1?f(1)?f(2)?f???f(3)??2??1?f???f(4)??3?2?1?f??? ?4??1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222x1?x1?x1?x???1?1????x?
?∴原式?f(1)??f(2)??(附：
?1???f?????f(3)??2????1???f?????f(4)??3???1?1??1f?????1?1?1?3
2?4??2a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条
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件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 )
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高中数学数列知识点总结（经典）
