2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点

微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题

狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量大，过程繁琐，常常会使学生陷入会而不对的绝境．解决问题的关键是聚焦运算目标，利用整体代换、设而不求等思想方法，有效减少运算量，优化解题流程.

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例题：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋y＝1，点A，B分别是椭圆的右

4顶点和上顶点，P为椭圆位于第三象限内一点，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，求证：四边形AMNB的面积为定值．

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变式1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y＝1，点A，B分别是椭圆的右

4顶点和上顶点，设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN·BM为定值．

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变式2如图，已知椭圆＋y＝1，过椭圆的上顶点A作一条与两轴均不平行的直线l

2交椭圆于另一点P，设点P关于x轴的对称点为Q，若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

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串讲1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋y＝1，过原点O的两条射线l1

4和l2分别与椭圆交于A和B，记得到的△AOB的面积为S.

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(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：S＝|x1y2－x2y1|；

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(2)设l1与l2的斜率之积为－，求面积S的值．

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