选修4-5第三节柯西不等式与排序不等式-高考理科数学章节练习题-逐题详解

n111

1．若n为大于1的自然数，求证：nn＋1

证明：右边＝1＋1＋1＋2＋1＋3＋…＋1＋n n＋1345

＝2＋2＋3＋4＋…＋n nn＋134≥n·2···…·23n n

＝n·n＋1＝左边． 34

∵2≠2≠3，故不取等号．

111

∴不等式nn＋1

2．(1)求证：m＋n≥；

m＋n

291

(2)求函数y＝x＋，x∈(0，2)的最小值．

1－2x解析：(1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得 a2b2

(m＋n)(m＋n)≥(a＋b)2， a2b2?a＋b?所以m＋n≥. m＋n

?2＋3?2292232

(2)由(1)，y＝x＋＝＋≥＝25，

1－2x2x1－2x2x＋?1－2x?

2911

所以函数y＝x＋(x∈ (0，2))的最小值为25，当且仅当x＝5时取得．

1－2x3．设△ABC的三边长分别为a，b，c， (1)判定b＋c－a，a＋b－c，c＋a－b的符号； a2b2c2

(2)求证：＋＋≥a＋b＋c.

b＋c－ac＋a－ba＋b－c解析：(1)因为a，b，c为三角形的三边， 所以b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.

2

2

n

a2b2c2

(2)证明：＋＋ b＋c－ac＋a－ba＋b－c

1a2b2c2

＝(＋＋)·[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)] a＋b＋cb＋c－ac＋a－ba＋b－c1

≥(

a＋b＋c

a2·

b＋c－a

b＋c－a＋

b2·

c＋a－b

c＋a－b＋

c2·a＋b－c)2

a＋b－c

1＝(a＋b＋c)2＝a＋b＋c. a＋b＋c

123

4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

123

解析：(a＋b＋c)(a＋2b＋3c)＝[( (3c)2]≥(

1a·a＋2b·2b＋12

a)＋(

22

b)＋(

3222)][(a)＋(2b)＋c

32·3c)＝36. c

123

又a＋b＋c＝2，∴a＋2b＋3c≥18，

123abc＝＝，即a＝b＝c＝3时等号成立． a2b3c

当且仅当∴当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.

5．已知函数f(x)＝m－|x－2|， m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；

111

(2)若a，b，c∈R＋，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0， 且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

111

(2)由(1)知a＋2b＋3c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b

1111112

＋3c)(a＋2b＋3c)≥(a·＋2b·＋3c·)＝9.

a2b3c

6．某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)： ①19×19；②30×10；③25×12.

请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．

解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m， 由题意，可得abc＝500，

长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋2ac＋ab.

33

由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥32bc·2ac·ab＝34×5002＝300. 当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时， S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，

这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省． 如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．

逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．

可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．

SJ