4.2 比较线段的长短
1.了解“两点之间，线段最短”.
2.能借助尺、规等工具比较两条线段的大小，能用圆规作一条线段等于已知线段.
3.了解线段的中点及线段的和、差、倍、分的意义，并能根据条件求出线段的长.
一、情境导入
爱护花草树木是我们每个人都应具备的优秀品质.从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪（如图），同学们，你觉得这样做对吗？为了解释这种现象，学习了下面的知识，你就会知道.
二、合作探究
探究点一：线段长度的计算
【类型一】 根据线段的中点求线段的长 如图，若线段AB＝20cm，点C是线段AB上一点，M、N分别是线段AC、BC的
中点.
（1）求线段MN的长；
（2）根据（1）中的计算过程和结果，设AB＝a，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用简洁的话表达你发现的规律.
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解析：（1）先根据M、N分别是线段AC、BC的中点得出MC＝AC，CN＝BC，再由
22线段AB＝20cm即可求出结果；（2）根据（1）中的条件可得出结论.
解：（1）∵M、N分别是线段AC、BC的中点，
11
∴MC＝AC，CN＝BC，∵线段AB＝20cm，
2211
∴MN＝MC＋CN＝（AC＋BC）＝AB＝10cm；
22
111
（2）由（1）得，MN＝MC＋CN＝（AC＋BC）＝AB＝a.即MN始终等于AB的一
222半.
方法总结：根据线段的中点表示出线段的长，再根据线段的和、差求未知线段的长度.
【类型二】 已知线段的比求线段的长
如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC
＝2cm，求：
（1）AD的长； （2）AB∶BE.
解析：（1）根据线段的比，可设出未知数，根据线段的和差，可列方程，根据解方程，可得x的值，根据x的值，可得AD的长度；（2）根据线段的和差，可得线段BE的长，根据比的意义，可得出答案.
解：（1）设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x， 由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
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由E为AD的中点，得ED＝AD＝x.
22
9x
由线段的和差得，CE＝DE－CD＝x－4x＝＝2.
22
解得x＝4.∴AD＝9x＝36（cm）.
（2）AB＝2x＝8，BC＝3x＝12.
由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）. ∴AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答. 【类型三】 当图不确定时求线段的长 如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点
间的距离是（ ）
A.5 B.2.5
C.5或2.5 D.5或1
解析：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB－BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6－4＝2，∵D是AC的中点，∴AD＝1； （2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6＋4＝10，∵D是AC的中点，∴AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.
探究点二：线段性质的应用
如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是（ ）
A.两点之间，直线最短 B.两点确定一条线段 C.两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短
解析：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短.故选D. 方法总结：本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键. 三、板书设计
教学过程中，强调学生通过想象、合作交流等数学探究过程，了解线段大小的比较方法，学习使用几何工具的操作方法，发展几何图形意识和探究意识，激发学生解决问题的积极性和主动性.
初中数学公式大全
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180 ° 18 推论 1 19 推论 2 边形
21 平行四边形判定定理 边形
22 平行四边形判定定理 形
23 平行四边形判定定理 边形
24 矩形性质定理 25 矩形性质定理 26 矩形判定定理 27 矩形判定定理 28 菱形性质定理 29 菱形性质定理 平分一组对角
30 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即 S= （a×b ）÷2 31 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 32 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 33 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 35 定理 1 36 定理 2
关于中心对称的两个图形是全等的
关于中心对称的两个图形， 对称点连线都经过对称中
1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线相等
1 有三个角是直角的四边形是矩形 2 对角线相等的平行四边形是矩形 1 菱形的四条边都相等
2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线
4 一组对边平行相等的四边形是平行四3 对角线互相平分的四边形是平行四边2 两组对边分别相等的四边形是平行四
直角三角形的两个锐角互余
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
1 两组对角分别相等的四边形是平行四
20 平行四边形判定定理
心， 并且被对称中心平分
37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
56.北师大七年级数学上册4.2 比较线段的长短1-教案
