2020年高考数学专题训练——第46讲 填空题压轴题精选

第四十六讲 填空题压轴题精选 A组 1、如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1,x2，都有x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”。给出下列函数： ?lnx,(x?0)①y?e?x；②y?x；③y?3x?sinx；④y??。 0,(x?0)?x2以上函数是“H函数”的所有序号为______。 【答案】：①③ 【解析】：由已知对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1)恒成立，等价于不等式?x1?x2??f(x1)?f(x2)??0， 即函数f(x)是定义在R上的增函数； ①y?ex?x为增函数，满足条件； ②函数y?x2在定义域上不单调，不满足条件； ③y?3x?sinx，y'?3?cosx?0，函数在R上单调递增，满足条件； ?lnx,(x?0)④y??，当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件。 ?0,(x?0)综上满足“H函数”的函数为①③。 2012)2、定义在R上的f(x)，满足f(m?n2)?f(m)?2[f(n)]2,m,n?R,且f(1)?0，则f(的值为 。 【答案】：1006 【解析】：①令m?n?0，有f?0??0；令m?0,n?1，有f?1??1； 2②令n?1，则有f?m?1??f?m??从而f(m)?11f(m?1)?f(m)?，即； 22m，故f(2012)?1006。 23、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为?i(i?1,2,3)，则cos?13cos?2??33?sin?13sin?2??33?____________。 【答案】：?12 【解析】：如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形； 因为三个圆的半径相等，则六边形为正六边形； 从而?1??2??3?4?； 故cos?13cos?2??33?sin?13sin?2??33?cos?1??2??33?cos4?1??。 324、设圆C位于抛物线y2?2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_________。 【答案】：6?1。 【解析】：为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线x?3相切； 222设圆C的半径为r，则圆C的方程为?x?3?r??y?r，将其与y?2x联立得：2x2?2?r?2?x?9?6r?0， 令????2?r?2????4?9?6r??0，并由r?0，得：r?26?1。 aba?babca?b?c5、若实数a，b，c满足2?2?2，2?2?2?2，则c的最大值是 。 【答案】：2?log23 【解析】：由2a?b?2?2?22?2?2ababa?b?12，得a?b?a?b?1，所以a?b?2. 22a?b114?1?a?b?1?2?， 由题设得 2?a?b2?12?12?13c所以 c?log24?2?log23。 36、（2016全国一卷16）若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线y?ln(x?1)的切线，则b= 。 【答案】：1?ln2 【解析】：设y?kx?b与y?lnx?2和y?ln(x?1)的切点分别为(x1,kx1?b)，(x2,kx2?b)； 由导数的几何意义知k?11，则有x1?x2?1?； ?x1x2?1 ?kx1?b?lnx1?2又切点在曲线上，可得??； ?kx2?b?ln(x2?1)??k?2?1?联立??解得?x1? 2??x2??1?2?从而由kx1?b?lnx1?2得出b?1?ln2。 x2y27、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1,F2，ab若F1F2??AF1AF2（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是 。 1【答案】：(0,) 22【解析】：由已知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）； 因为F1F2??AF1AF2， 4c24e2?则??； (a?c)2e2?2e?124e2?4（0＜e＜1）； 又0＜λ＜4，则有0?2e?2e?11； 21故答案为(0,)。 2解得0?e?8、若曲线C1：x2?y2?2x?0与曲线C2：y(y?mx?m)?0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是_________。 ?3??3?????,0???0,【答案】：????3??3? 【解析】：曲线x2?y2?2x?0表示以?1,0?为圆心，以1为半径的圆， 曲线y?y?mx?m??0表示y?0,或y?mx?m?0过定点??1,0?， y?0与圆有两个交点，故y?mx?m?0也应该与圆有两个交点， 由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得， 两种相切分别对应m??33和m?，由图可知，m的取值 33?3??3?????。 ?,0?0,范围应是?????3??3??lnx,(0?x?e3)9、已知函数f(x)??3，存在x1?x2?x3，使得f(x1)?f(x2)?f(x3)，3?e?3?x,(x?e)f(x3)则的最大值为_________。 x21【答案】： e【解析】：由题意0?lnx2?3，则1?x2?e3， f(x3)f(x2)lnx1?lnx?又，故令y?y，则y'?， x2x2xx2当x?(1,e)时，y'?0，当x?(e,e3)，y'?0； 从而函数在(1,e)上单调递增，在(e,e3)上单调递减， f(x3)11故x=e时，函数取得最大值，即的最大值为。 x2ee10、在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a)，P是函数y?1(x?0)图象上一动点，x若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为_______。 【答案】：-1或10 ?1?【解析】：由题意设P?x0,?,?x0?0?则有 ?x0?PA2??x0?a?2?1????11?1?1????a??x02?2?2a?x0+?+2a2=?x0+?-2a?x0+??2a2?2 x0x0?x0?x0??x0????22令x0?1?t?t?2?则PA2=f(t)=t2?2at?2a2?2?t?2?对称轴t?a； ，x0，2（1）当a?2时，PAmin?f(2)?2a2?4a?2； 因为点P，A之间的最短距离为22，则有2a2?4a?2?8； 解得：a??1或a?3（舍去）； （2）当a?2时，PAmin?f(a)?a2?2，则有a2?2?10； 解得：a?10 或a??10（舍去）； 综上a??1或a?10。 B组 batanCtanC?1、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a，b，c，??6cosC，则abtanAtanB2=_________。 【答案】：4 【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?tanA?tanB?1tanC2?2，C21C1?cosC1?，tan?，tan2?， 22321?cosC2tanCtanC?= 4。 tanAtanBbaa2?b2?c23c2222222?a?b,a?b?（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，6ab? ab2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C ???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2?????42由正弦定理，上式cosCab12。 (a?b2)1?3c6622、过双曲线x2?y2?4的右焦点F作倾斜角为105?的直线，交双曲线于P、Q两点，则