《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
1)A?{a1,a2,a3,??} 2)
A?{xx的性质P}
元素与集合的关系：a?A，a?A
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N
元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A?B。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A?B 若作A?B且A?B则称A是B的真子集。 全集I：Ai?I（I=1，2，3，……..）。 空集?： ??A。 2、 集合的运算
并集A?B：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B：A?B?{x|x?A且x?B} 差集A\\B：
+
A\\B?{x|x?A且x?B}
C补集（余集）A：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A?B?B?A A?B?B?A
结合律：(A?B)?C?A?(B?C)，(A?B)?C?A?(B?C)
分配律： (A?B)?C?(A?C)?(B?C)，(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
ccccccA?B)?A?B(A?B)?A?B对偶律： (
笛卡儿积： A×B?{(x,y)|x?A且y?B} 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间(a,b)，闭区间?a,b?，半开半闭区间?a,b??a,b?。
2）无限区间：（??,a），???,a?，?a,???，?a,???，???,???。 3）邻域：
U(a,?)?{xa???x?a??}
?注：a 邻域的中心，?邻域的半径；去心邻域记为U(a,?)。 二、映射 映射概念
定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f：X?Y
其中y称为元素x的像，并记作f(x)，即y?f(x)。 注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数 1、 函数的概念
定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，记为
y?f(x),x?D。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(?x)关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立：f(x?l)?f(x)) 3、 函数与复合函数
1）反函数：函数f:D?f(D)是单射，则有逆映射f函数的反函数。
函数与反函数的图像关y?x于对称。
2）复合函数：函数u?g(y)定义域为D1，函数y?f(x)在D上有定义、且f(D)?D1。则u?g(f(x))?g?f(x)为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数
?1(y)?x，称此映射f?1为f
f（x）=??f1(x)?f2(x)(x?a)(xa)
若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）= f2（a），则 f（x）= f1[
11（x+a-(x?a)2）]+ f1[（x+a+(x?a)2）]- f1（a） 224、初等函数
ay?x1）幂函数：
2)指数函数：y?a 3)对数函数：y?loga(x) 4)三角函数：
xy?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cot(x)
5)反三角函数：
y?arcsin(x)，y?arccos(x)
y?arctan(x)y?arccot(x)
以上五种函数为基本初等函数。
shxex?e?xex?e?xex?e?xthx??xchx?shx?chxe?e?x 226）双曲函数：，，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：
sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy
高等数学——函数与极限
