实用文档
塑性成形过程中相场法及其应用
学 生 姓 名： 学 号： 学生所在院（系）：
实用文档
第1章 相场法的特点
1.1 相场法的概念
相场法是一种基于经典热力学和动力学理论的半唯象方法[1]。该方法具有以下优点: 可以通过场变量简单明了地表征出任何一种复杂组织的几何形貌，包括单个区域或晶粒的几何形状，区域或晶粒的空间分布、体积分数等;可以考虑内部场和外加场(如应变场、电场和磁场) 对组织变化的影响;并且在2维和3维系统的应用并不增加模型的复杂性[2]。相场法已经十分成熟地应用于模拟凝固过程
[1,3,4]
，但是在固相-固相转变模拟的应用正处在活跃发展的阶段[5]。
1.2 相场法的特点
微观组织演化的经典动力学通过将有着固定结构和成分的晶粒严格区分的尖锐界面的几何形状来描述多相微观组织。然后微观组织的演化可以通过求解一系列非线性偏微分方程获得,其中移动界面满足自相容边界条件。然而,对于复杂的微观组织,利用传统方法无法求出移动或自由界面的解析解,即使是其数值解也很难求出[7]。因此有关粒子形状、粒子数量的问题无法利用传统方法解决。为了解决大部分传统方法面临的困难,最近人们越来越有兴趣利用场动力学理论描述任意介观和微观组织以及其随时间的演化,其主要原因就是与其它模拟方法相比相场法具有一些其它模拟方法所不具备的独特之处:首先,相场法通过场变量可以简单明了地表征出任何一种复杂组织的几何形貌,而且包括单个区域或晶粒的几何形状,区域或晶粒的空间分布、体积分数、局部表面曲率(如表面的坡口角和二面角)和内界面这样的细节在内[8]。
其次,相场法可以对与长程和短程相互作用有关的各种热力学驱动力加以考虑,所以利用相场法可以研究内部场和外加场(如应变场、电场和磁场)对组织变化的影响。
第三,相场法可以在相同的物理和数学模型下模拟诸如:形核、长大、粗化和外场诱发的组织变化等不同的现象。
第四,相场法中的时间,尺寸和温度的标度可以根据卡恩一希利阿德扩散方程和金兹博格一朗道方程中采用的半唯象常数来确定。从原理上来说,这些标度可以和所研究系统的实验测量数据或者更基本的模拟数据相对应。
第五,相场法是一种相对简单的方法而且它在二维和三维系统的应用并不增加模型的复杂性。
[6]
实用文档
第2章 相场法的理论基础
2.1 相场法模拟的理论基础
相场法的理论基础是经典的热力学和动力学理论。例如:总体自由能的减少是组织变化的驱动力,原子和界面的迁移速率决定组织变化的速率。在组织变化的过程中,总自由能的减少通常包括以下的一个或几个部分:体化学自由能的降低;表面能和界面能的减少;弹性应变能的松弛以及与外作用场相关的能量的降低(如:外加应变场、电场和磁场)。在这些因素的驱动下,组织的各个组成部分(如各相和各区域)将通过扩散和界面控制的动力学过程发生变化,达到一种能量较低的新的状态,这种变化通常包括新相或新区域的形核(或连续分解)和新的多相/多区域组织随后的长大和粗化。
与传统的方法相比，相场法也是用偏微分方程来描述组织的变化，但是该方法是通过引入一套与时间和空间有关的场变量把复杂的组织作为一个整体来研究[9]。最熟悉的场变量的例子就是表征成分分布的浓度场和表征多相材料和多晶材料中结构变化的长程有序化参数场[10]。这些场变量随时间和空间的变化提供了关于介观尺寸的组织变化的全部信息。场变量的变化可以通过求解半唯象的动力学方程来获得。
在大多数固态相变中,除了结构的变化外还有成分的变化,因此还需要引入成分场c( )作为场变量来描绘组织成分的变化。根据朗道理论可知以上所定义的场变量随时间的变化与系统的热力学驱动力成正比,可以通过这一原理确定一系列偏微分方程,求解这些偏微分方程可得出场变量随时间的变化,从而可以描述出合金组织随时间的变化。
2.1.1朗道相变理论
相场模型的理论基础是朗道(Landau)相变理论[11],该理论是建立在统计理论的平均场近似基础上的理论,具有形式简单、理论性强等特点。1937年,朗道建立了二级相变的唯象理论,把体系的自由能作为温度和序参量的函数展开为幕级数。该理论强调了相变时对称性改变的重要性,并采用一个反映体系内部状态的热力学变量即序参量来描述相变时的对称破缺。序参量反映了系统内部的有序化程度,它在高对称相等于零,而在低对称相则不等于零。对称破缺意味着出现了有序相,其序参量不为零。因此,序参量可以为某一物理量的平均值,既可以是标量也可以是矢量,在高温相中为零,在低温相中为一个有限值。相变则意味着序参量从零向非零的过渡,或其逆过程。
朗道二级相变理论假设自由能(f)为序参量(?)、温度(T)和压强(P)的函数,并将f按?的幂级数展开
实用文档
f(P,T, ?)=f0+α?+A1?+A2?+A3?+
式中,系数α,A1,A2,A3為都是P和T的函数。
2.1.2 扩散界面模型
在相转变和微结构演变的传统模拟方法中，不同畴之间的界面是尖锐的,多畴结构可以用界面的位置来描述[12]。每一个畴都可以通过求解一系列微分方程来得到其结构。因此,尖锐界面需要直接跟踪动态界面的演化过程。对于具有十分复杂的界面结构的问题,釆用经典尖锐界面模型去跟踪界面演化,给计算带来很大的困难。真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界面,而是具有一定厚度的边界层,这层厚度控制着材料相变动力学(如凝固中的非平衡效应,溶质截流效应等现象。
在扩散界面模型中,微结构是通过一系列相场变量来描述。引入在空间和时间上都连续变化的相场变量可以把尖锐界面问题转变为弥散界面问题。在相场模型中,系统的自由能在整个模拟区域内用统一的形式来描述,因此在组织模拟过程中不再需要追踪复杂的相界面。
2.2 相场法模型的基本方程
连续场法的基本思想是选择一些场变量,这些场变量的动力学演化速度远远 慢于微观系统中大量的微观自由度,使其在当前计算机处理能力范围内[13]。场变量的选择很重要,其原则是既不忽略必要的物理因素也不引入无关的因素。一般来讲,场变量应该代表系统的主要动力学特征并且在演化过程中起主要作用。场变量随时间的演化可以通过解偏微分方程获得,并假设场变量随时间的变化率正比于热力学驱动力(线性动力学理论)。
在相场法中,场变量随时间的变化通过唯象的与时间相关的金兹博格一朗道 动力学方程求得:
其中,ψp是所选的场变量,其准确选择取决于具体情况并且需要能反映系统的特征。一般说来,场变量可以是可测量的物理量,例如合金成分,而在有的情况下则很难定义这样的物理量,例如在液-固凝固的系统中,需要定义一定数量的取向场变量来表示凝固后各个取向的晶体结构[14]。场变量可以是标量、矢量、张量,这取决于具体的系统特征,此外我们所提到的标量场变量在像磁场这样的系统中可以表示有三个空间分量的矢量磁矩;该变量也可能是二阶张量例如表示液晶中确定的序列。
实用文档
第3章 相场法的主要步骤及数值解法
3.1计算机模拟的主要步骤如下：
(1)为所研究的特定的组织特征选择合适的慢速变量。
(2) 根据系统的对称性和基本的热力学行为求出经晶粒粗化近似的自由能表达式且该表达式要以慢速变量为自变量[15]。
(3) 根据实验数据或更基本的计算结果确定自由能函数中的唯象参数。 (4) 确定合适的初始条件和边界条件并用数值方法对场动力学方程(一系列偏微分方程)求解。
3.2相场法的数值解法
针对研究对象的特征,构建好物理模型后,就需要求解模型的基本方程,并将基本方程所涉及的区域在时间和空间上进行离散化处理[]16]。求解物理模型通常有两种方法:(1)解析法,其主要特点是通过严格的数学推导求出问题的精确解(又称解析解);(2)数值法,它通过一定的算法和程序,利用计算机计算出问题的近似解(又称数值解)。在相场模型中,材料微结构演化的问题最终转化为求解一系列相场方程。由于体系总自由能f通常是非线性方程,使得相场方程成为了一系列高度非线性的偏微分方程,而这类偏微分方程通常难以得到解析解[17]。因此,采用计算机数值计算方法对相场方程进行求解就显得十分必要。
目前,求解偏微分方程的数值计算方法主要包括有限差分法、傅里叶谱方法和有限元方法。
3.2.1 有限差分法
有限差分法是一种以差分原理为基础的数值计算方法。其基本思想是将整个连续的空间离散成小网格,然后用网格节点中的差商代替原微分方程中的微分,用网格节点中的函数求和代替原方程中的积分[18],由此就把原来求解偏微分方程的问题转换为求解相邻网格点上差分方程组的问题。
将整个连续空间离散为许多小网格,原则上讲,网格分割是可以任意的。但在实际应用中,通常是根据边界形状,釆用最简单、最有规律的方法来分割。常用的有矩形分割法,三角形分割法和极坐标网格分割法。
3.2.2 傅里叶谱方法
傅里叶谱方法是另一种重要的求解偏微分方程的数值计算方法[19]。该方法在求解偏微分方程方面具有很大潜力,因为有快速傅里叶变换而具有强大的威力。
塑性成形过程中相场法及其应用
